13ª Aula prática

10 dezembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre determinantes e vectores e valores próprios.

36ª Aula - Formas canónicas de Jordan e formas canónicas reais

10 dezembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Definições: bloco de Jordan, forma canónica de Jordan.

Toda transformação linear T num espaço linear complexo V de dimensão finita tem representação matricial em forma canónica de Jordan J=diag(J₁, ..., J_m) numa base apropriada do espaço em que cada J_j é um bloco de Jordan. 

Toda matriz quadrada real ou complexa é semelhante a uma forma canónica de Jordan.

Observação: Há transformações lineares num espaço linear complexo V de dimensão finita cuja acção em componentes numa base de V não pode ser totalmente desacoplada componente a componente (por não terem representação matricial diagonal em qualquer base de V), mas há sempre bases tais que cada componente da imagem depende de no máximo duas componente adjacentes do domínio).

A múltiplicidade algébrica de cada valor próprio dá o nº de vezes que esse valor próprio aparece na diagonal principal da forma canónica de Jordan; a multiplicidade geométrica dá o nº de blocos de Jordan com esse valor próprio. Para formas canónicas de Jordan triangulares superiores o 1º elemento dos elementos da base correspondentes a um bloco de Jordan é um vector próprio associado ao valor próprio desse bloco. 

Uma base para a forma canónica de Jordan pode ser obtida calculando, valores próprios, respectivas multiplicidades algébrica e geométrica, espaços próprios e, para cada bloco de Jordan J_j n_jxn_j com valor próprio λ_j , cadeias de vectores v₁, v₂, v₃, ..., v_nj que satisfazem: T(v₁)=λ_jv₁, T(v₂)=λ_jv₂+v₁, T(v₃)=λ_jv₃+v₂, ... , T(v_nj)=λ_jv_nj+v_nj-1 , pelo que tem de ser v₁∈N(T-λ_j1_V) ∩ R(T-λ_j1_V) , v₂∈N([T-λ_j1_V]²) ∩ R(T-λ_j1_V) ,  v₃∈N([T-λ_j1_V]³) ∩ R(T-λ_j1_V) , ... ,  v_nj-1∈N([T-λ_j1_V]^n_j-1) ∩ R(T-λ_j1_V) , v_nj∈N([T-λ_j1_V]^n_j) .

Exemplos concretos de cálculo de formas canónicas de Jordan de transformações lineares e de correspondentes mudanças de base.

Se uma matriz quadrada real tem valores próprios que não são reais, as respectivas formas canónicas de Jordan não são matrizes reais. Exemplo com matriz 2x2.

Definições: forma canónica real.

Toda transformação linear T num espaço linear real V de dimensão finita tem representação matricial em forma canónica real R=diag(R₁, ..., R_k) numa base apropriada do espaço em que cada R_j é um bloco de Jordan para valores próprios reais e para valores próprios que não são reais é um outro tipo de bloco de formas canónicas reais com diagonal principal de blocos 2x2 cada um com componentes na diagonal principal iguais à parte real do valor próprio e as outras componentes a parte imaginária do valor próprio e a sua simétrica, e com blocos 2x2 adjacentes iguais à identidade I₂ . Estes blocos obtêm-se associado correspondentes blocos da forma canónica de Jordan da mesma dimensão.

Toda matriz quadrada real é semelhante a uma forma canónica real. 

Observação: Há transformações lineares num espaço linear real V de dimensão finita cuja acção em componentes numa base de V não pode ser totalmente desacoplada componente a componente (por não terem representação matricial diagonal em qualquer base de V), mas há sempre bases tais que cada componente da imagem depende da no máximo três de quatro componentes adjacentes do domínio).

35ª Aula - Propriedades e exemplos de cálculo de polinómios característicos, valores próprios, vectores próprios, espaços próprios, multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica, diagonalização com mudança de base, matrizes diagonalizantes. Definição de espectro.

9 dezembro 2015, 14:00 • Luis Magalhães

Teorema: Vectores próprios de valores próprios distintos de uma transformação linear são linearmente independentes.

Corolário: Se T∈L(V), com dim V=n finita tem n valores próprios distintos, então tem representação diagonal em alguma base (os elementos da diagonal principal são os valores próprios repetidos de acordo com multiplicidade algébrica e bases são de correspondentes vectores próprios, pela mesma ordem).

Observação: n valores próprios distintos é suficiente para existência de representação matricial diagonal, mas não é necessário (e.g. identidade).

Exemplos concretos de cálculo de polinómios característicos, valores próprios, vectores próprios, espaços próprios, multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica, diagonalização com mudança de base, matrizes diagonalizantes.

Exemplo de transformação linear sem representação diagonal em qualquer base.

Exemplo ilustrando a diferença de considerar valores próprios em espaços lineares reais e complexos. o conjunto dos valores próprios de transformação linear em espaço linear real pode ser vazio, mas em espaço linear complexo de dimensão finita é sempre não vazio (devido ao Teorema Fundamental da Álgebra).

Definição: espectro de T∈L(V), com V espaço linear complexo de dimensão finita e de matriz quadrada real ou complexa A , σ(T) e σ(A) .

Se A é matriz quadrada real ou complexa det A e tra A são, respectivamente, o produto e a soma dos valores próprios complexos repetidos de acordo com multiplicidade algébrica.

Se A é matriz quadrada real, os valores próprios não reais ocorrem em pares conjugados com a mesma multiplicidade algébrica de cada par conjugado.

Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos na diagonal principal, com multiplicidade algébrica igual ao nº de respectivas repetições. Referência a respectivos vectores próprios.

13ª Aula prática

9 dezembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre determinantes e vectores e valores próprios.

13ª Aula prática

9 dezembro 2015, 08:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre determinantes e vectores e valores próprios.