Sumários

14ª Aula prática

15 dezembro 2015, 11:00 Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre vectores e valores próprios, transformações normais e formas canónicas de Jordan.


38ª Aula - Decomposição cartesiana de transformação unitária e condições para ser hermitiana, antihermitiana, unitária. Formas quadráticas reais: definição, diagonalização, classificação com base em valores próprios, aplicação a equações cartesianas de quádricas. Resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem com coeficientes constantes com matriz de coeficientes diagonal ou diagonalizável.

15 dezembro 2015, 10:00 Luis Magalhães

Decomposição cartesiana de transformações unitárias: as transformações unit´árias são as que têm decomposição T=X+iY. com X e Y hermitianas e comutáveis ( X=(T+T*)/2, Y=(T-T*)/(2i) ).

Uma transformação normal com decomposição cartesiana T=X+iY é hermitiana, antihermitiana, unitária se e só se, respectivamente, Y=0, X=0, X2+Y2=1 (analogia de transformações normais, hermitianas, antihermitianas e unitárias com, respectivamente, nºs complexos, nºs reais, nºs imaginários puros, nºs complexos de módulo 1; os valores próprios respectivos são nºs complexos dos tipos respectivos).

Definições: Forma quadrática real Q:ℝn→ℝ , Q(z)=ztAzi,jaijzizj , A matriz nxn real. Chama-se forma quadrática diagonal se A é diagonal.

Parte simétrica e parte antisimétrica de matriz quadrada real A: (A+At)/2, (A-At)/2 .

Uma forma quadrática associada a uma matriz A é igual à forma quadrática associada à parte simétrica de A.

Teorema dos eixos principais: Toda forma quadrática real é diagonalizável por uma transformação de semelhança definida por uma matriz ortogonal.

Uma forma quadrática real é definida tpositiva, definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa se e só se os valores próprios são, respectivamente, todos >0, todos <0, todos ≥0, todos ≤0; é indefinida se há valores próprios >0 e também valores próprios <0 .

Observação: Já se tinha visto como classificar uma forma quadrática com base nos pivots obtidos por eliminação de Gauss. Também é possível classificá-las com base em determinantes: designando por Ajj as submatrizes jxj de A com as componentes nas 1ªs j linhas e colunas, a forma quadrática é definida positiva se e só se det Ajj>0 para as n matrizes com j=1,...,n ; é definida negativa se e só se -A é definida positiva, logo se e só se (-1)jdet Ajj>0 para  j=1,...,n ; é semidefinida positiva se e só se os determinantes de todas as submatrizes de A de todas as ordens têm determinante >0 ; é semidefinida positiva se estes determinantes são >= para ordem par e <0 para ordem ímpar da submatriz. 

Exemplo concreto de diagonalização de forma quadrática e determinação dos respectivos eixos principais (que são necessariamente ortogonais). Implicações para identificar cónicas com equações cartesianas definidas por formas quadráticas em ℝ2 e superfícies quadráticas definidas por formas quadráticas em ℝ3.

Introdução à resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem com coeficientes constantes x'(t)=Ax(t) , com x(t)∈ℝn, t∈ℝ . Se A=diag(λ1,...λn) ,as equações são xj'(t)=λjxj(t) para j=1,...,n , com soluções gerais xj(t)=Kjeλjt, com Kj∈ℝ constantes, para j=1,...,n . Se A é diagonalizável (i.e. existe base de ℝn constituída por vectores próprios de A ) muda-se de base, resolve-se com matriz dos coeficientes diagonal, inverte-se a mudança de base e obtém-se as soluções. No caso de escalares complexos é análogo. Se A não é diagonalizável, tem forma canónica de Jordan e resta saber resolver o sistema de equações diferenciais no caso em que a matriz de coeficientes é um bloco de Jordan não trivial.


37ª Aula - Existência de representações matriciais triangulares de transformações lineares em espaços euclidianos complexos de dimensão finita em bases ortonormais, e representações matriciais diagonais de transformações normais. Tranformações hermitianas, antihermitianas e unitárias.

14 dezembro 2015, 10:00 Luis Magalhães

Considera-se um espaço euclidiano complexo V com dim V=n finita.

Para que uma matriz real ou complexa nxn A seja semelhante uma matriz diagonal U-1AU com U unitária (i.e. tal que U-1=U*, ou seja as colunas de U são ortonormais) é necessário que A*A=AA*.

Definição: chama-se matriz normal a uma matriz quadrada real ou complexa A tal que A*A=AA*.

Revisão: Ax·y=y*Ax=(A*y)*x=x·A*y, para x,y∈ℝn.

Definição: para T∈L(V) chama-se adjunta de T a T*∈L(V) tal que <T(u),v>=<u,T*(v)> para u,v∈V (a representação matricial de T* numa base ortonormal é a adjunta da representação matricial de T na mesma base.

Definição: T∈L(V) chama-se transformação normal se T*T=TT*.

Para T∈L(V) ter representação matricial diagonal numa base ortonormal é necessário que seja normal.

Um subespaço linear S de V é invariante (i.e. T(S)⊂S) sob T∈L(V) se e só se S é invariante sob T*.

Teorema de Schur: Toda T∈L(V) tem representação matricial triangular inferior (ou superior) em base ortonormal de V apropriada. (prova por indução na dimensão n com base na existência de pelo menos um valor próprio complexo de T* com um valor próprio u e o complemento ortogonal do espaço gerado por u ser invariante sob T e ter dimensão n-1).

Corolário: Toda matriz quadrada real ou complexa A é semelhante por transformação de semelhança por matriz unitária U apropriada a uma matriz triangular inferior e também (com outra matriz de semelhança) a uma matriz triangular superior.

Decomposição espectral de transformações normais: T∈L(V) tem representação matricial diagonal numa base ortonormal de V apropriada se e só se T é normal. Em caso afirmativo T=ΣjλjPj , em que os λj são os valores próprios de T sem repetições e as Pj são projecções ortogonais duas a duas (i.e. Pj(V)⊥Pk(v) para j≠k) (são as projecções ortogonais sobre os espaços próprios dos correspondentes valores próprios de T). (demonstração de suficiência provando que representação matricial triangular D numa base ortonormal adequada de uma ttransformação normal satisfaz ||Db||=||D*b|| para todo b∈ℂn, pelo D é diagonal).

As matrizes A hermitianas (i.e. A*=A), antihermitianas (i.e. A*=-A), unitárias (i.e. A*A=I=A*) são normais (logos, as matrizes reais simétricas, antisimétricas, ortogonais são normais).

Definição: T∈L(V) é hermitiana se <T(u),v>=<u,T(v)> para u,v∈V, é antihermitiana se <T(u),v>=-<u,T(v)> para u,v∈V, é unitária se <T(u),T(v)>=<u,v> para u,v∈V,

As transformações unitárias preservam normas e ângulos; preservam distâncias (são isometrias).

Se T∈L(V) tem representação matricial A numa base ortonormal, T é hermitiana, antihermitiana ou unitária se e só se A é, respectivamente, hermitiana, antihermitiana ou unitária.

Os valores próprios de T∈L(V) hermitianas, antihermitianas ou unitárias são, respectivamente, nºs reais, imaginários puros ou complexos de módulo 1.

Exemplo concreto com matriz simétrica: diagonalização para matriz diagonal real com transformação de semelhança ortogonal.

Observação: Fica-se a conhecer uma classe ampla de matrizes quadradas diagonalizáveis por transformações de semelhança unitárias (que correspondem a mudanças de bases ortonormais), nomeadamente as matrizes normais, que incluem matrizes facilmente identificáveis como matrizes hermitianas, antihermitianas ou unitárias (no caso de matrizes reais, matrizes simétricas, antisimétricas ou ortogonais).


13ª Aula prática

11 dezembro 2015, 09:30 Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre determinantes e vectores e valores próprios.


13ª Aula prática

11 dezembro 2015, 08:00 Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre determinantes e vectores e valores próprios.