12ª Aula prática

2 dezembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre ortogonalidade, suas aplicações geométricas e soluções de quadrados mínimos; e sobre produto externo e determinantes.

12ª Aula prática

1 dezembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre ortogonalidade, suas aplicações geométricas e soluções de quadrados mínimos; e sobre produto externo e determinantes.

33ª Aula - Continuação de determinantes: cálculo com eliminação de Gauss, fórmula de Laplace, determinante de matrizes triangulares e de transpostas de matrizes, determinante e não singularidade de matriz, determinante do produto de matriz, determinante da inversa de matriz não singular, aplicações de determinantes (volume-n de paralelepípedos-n, fórmula para determinante de inversa de matriz não singular).

1 dezembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Fórmula para determinantes em termos de permutações. Exemplos de aplicação ao cálculo de determinantes de matrizes triangulares e de matrizes com muitas componentes nulas, e à igualdade do determinante de uma matriz e da respectiva transposta.

O determinante de matrizes quadradas permanece invariante subtraindo a qualquer linha uma outra multiplicada por uma escalar.

Cálculo de determinantes de matrizes A nxn por eliminação de Gauss: (1) se há menos de n pivots, det A=0; (2) se há n pivots, det A=±(produto dos pivots) com sinal + ou - conforme o nº de trocas de linhas na eliminação de Gauss é par ou ímpar.

Se A é matriz quadrada, det A≠0 se e só se A é não singular (det A=0 se e só se A é singular).

Definições: menor-ij de matriz A (é o det A_ij  em que A_ij  é a submatriz obtida suprimindo a A a linha i e a coluna j ), cofactor-ij de matriz A (é (cof A)_ij=(-1)^i+jdet Aij ), matriz dos cofactores de uma matriz quadrada A (é a matriz com componente-ij igual ao cofactor-ij de A), Fórmula de Laplace em relação a uma qualquer linha para cálculo de determinantes (det A = ∑_j a_ij (cof A_ij) = ∑_j (-1)^i+j a_ij det A_ij ); idem em relação a uma qualquer coluna (det A = ∑_i a_ij (cof A_ij) = ∑_i (-1)^i+j a_ij det A_ij ). Exemplos.

Observação: genericamente para matrizes que não sejam de muito pequena dimensão o cálculo é mais eficiente com eliminação de Gauss, os outros métodos podem ser mais eficientes para matrizes esparsas com estruturas particulares; além disso, dão fórmulas que permitem obter a sensitividade do determinante a partir das componentes da matriz.

Se A,B são matrizes nxn, então det AB=(det A)(det B) (prova: se det B≠0, a função definida por f(A)=(det AB)/(det B) satisfaz as 3 condições da definição de det, e como esta é uma função única f(A)=det A ; se det B=0, as linhas de B são linearmente dependentes, e rank B<n , pelo que rank AB≤min{rank A, rank B}<n e, então, as linhas de AB são linearmente dependentes e det AB=0). Se A é matriz quadrada não singular, então det A^-1=1/(det A) (prova (det A)(det A^-1)=det AA^-1=det I_n=1).

Aplicações de determinantes:

(1) Cálculo de volumes-n de paralelepípedos-n : vol_nP(v₁,..., v_n)=|d(v₁,...,v_n)| .

(2) Fórmula para inversa de matriz não singular nxn : A^-1=[1/(det A)](cof A)^t . Exemplo de cálculo. Observação: para uma matriz genérica que não seja de muito baixa dimensão o cálculo com esta fórmula é computacionalmente muito menos eficiente do que com eliminação de Gauss, mas a fórmula permite obter a sensitividade das componentes da inversa a partir das componentes da matriz e calcular directamente uma componente, além de interesse teórico.

Aula substituída

30 novembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Aula substituída por Aula Extraordinária em 25-11-2015 (31ª Aula)

11ª Aula prática

27 novembro 2015, 09:30 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre ortogonalidade de subespaços.