6ª Aula prática

20 outubro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre matrizes mudança de base e números complexos.

16ª Aula - Exponencial complexa. Exemplos de espaços lineares reais e complexos definidos com números complexos e respectivas dimensões. Complexificação de espaço linear real.

20 outubro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Definição de exponencial complexa a partir das propriedades elementares: (1) e ^x+i0=e^x para x∈ℝ ; (2) e^z+w=e^ze^w; (3) (d/dy) e^zy=ze^zy, com y∈ℝ . Logo, e^x+iy=e^xe^iy=e^x(cos y + i sin y). Observação 1=e^i2π relaciona entre si 5 nºs introduzidos em contextos diferentes: elemento neutro da multiplicação, base dos logaritmos naturais, unidade imaginária, soma da unidade consigo própria, área do círculo de raio 1.

Exemplos de espaços lineares com nºs complexos como espaços lineares reais e como espaços lineares complexos: ℂ, ℂⁿ (espaço das n-plas com componentes complexas), ℂ^S em que S≠∅ (espaço das funções com valores complexos definidas em S), C ^ℕ  (espaço das sucessões de nºs complexos), C ^[0,1] espaço das funções com valores complexos definidas no intervalo real [0,1] . Determinação da dimensão destes espaços como espaços lineares reais e como espaços lineares complexos: se S é conjunto finito, a dimensão de ℂ^S como espaço linear real é o dobro da dimensão com espaço linear complexo, dim ℂ^S; se S é conjunto infinito, dim S é conjunto finito dim ℂ^S=∞ e as dimensões de ℂ^S como espaço linear complexo ou real é a mesma (bases têm a mesma cardinalidade). Complexificação V_ℂ de espaço linear real V, dim V_ℂ=dim V .

15ª Aula - Revisão de números complexos: definição, representação geométrica, propriedades algébricas fundamentais, representação polar, representação geométrica da soma e do produto, potências e raízes inteiras positivas.

19 outubro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Definição de espaço linear complexo.

Revisão de nºs complexos: definição como conjunto ℂ de pares ordenados de nºs reais com a soma de ℝ² e o produto (a₁,b₁)(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁), observação de que as propriedades algébricas desta soma e produto de nºs complexos são as mesmas das da soma e produto de nºs reais (ℂ como ℝ ou ℚ com a soma é um grupo comutativo, e o produto é comutativo, associativo, distributivo em relação à soma, tem elemento neutro (1,0) (a unidade) e cada complexo (a,b)≠0 tem recíproco (a,b)^-1=(a,-b)/(a²+b²) , como para o produto em ℝ ou ℚ ; i.e. são algebricamente corpos). (c,0)(a₁,b₁)=(ca₁,cb₁) pelo que o nº complexo (c,0) identifica-se com o nº real  c  e a multiplicação por escalares de ℝ² está implícita na multiplicação de complexos, representação geométrica dos complexos num plano e da adição de complexos (como em ℝ²). Definição de unidade imaginária i=(0,1) .

Representação polar de nºs complexos (r cos θ , r sin θ ) : módulo, argumento, argumento principal ( θ∈]-π,π] ) . Passagem de representação polar para cartesiana e vice versa. O argumento do produto é a soma dos argumentos das parcelas e o módulo é o produto dos módulos. Determinação gráfica do produto de complexos. Potências inteiras de complexos, raízes inteiras de complexos (cada complexo ≠0 tem k raízes de ordem k∈ℤ), determinação algébrica e gráfica de potências e raízes inteiras positivas de nºs complexos.

5ª Aula prática

16 outubro 2015, 09:30 • Ricardo Coutinho

Correcção do 1º teste. Resolução e discussão de problemas sobre bases de subespaços de espaços lineares incluindo subespaços associados a matrizes.

5ª Aula prática

16 outubro 2015, 08:00 • Ricardo Coutinho

Correcção do 1º teste. Resolução e discussão de problemas sobre bases de subespaços de espaços lineares incluindo subespaços associados a matrizes.