8ª Aula prática

6 novembro 2015, 08:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre transformações lineares.

8ª Aula prática

5 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre transformações lineares.

23ª Aula - Revisão de inversas de funções. Propriedades básicas de transformações lineares invertíveis. Equações lineares gerais (definição, Princípio de Sobreposição, e 0,1 ou infinitas soluções). Referência a diferentes descrições geométricas, propriedades reflectoras e equações cartesianas canónicas de cónicas.

5 novembro 2015, 10:00 • Luis Magalhães

Inversa de função (geral) T:V→W : definição, notação, inversa à esquerda e inversa à direita;
(1) existe inversa de T se e só se é injectiva ;
(2) se existe inversa à esquerda L de T, então é única, existe inversa de T e T  ^-1=L ;
(3) existe sempre inversa à direita;
(4) se inversa à direita R é única, então existe inversa de T e T  ^-1=R .

Se T é uma transformação linear com domínio V , então as afirmações seguintes são equivalentes:
(1) T é injectiva;
(2) T é invertível e T  ^-1 é uma transformação linear de T(V) em V ;
(3) T é isomorfismo do espaço linear V no espaço linear T(V) ;
(4) N(T)={0} ;
(5) dim T(V)=dim V ;
(6) T transforma vectores linearmente independentes em vectores linearmente independentes;
(7) T transforma bases de V em bases de T(V) .
(Prova de (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(1), (4)⇔(5), (3)⇔(7)⇔(6) .

Se T é uma transformação linear definida num espaço linear de dimensão finita V é invertível, A é a representação linear de T∈L(V,T(V)) em bases ordenadas de V e T(V) e B é a representação matricial de T^-1 nas mesmas bases, então A é não singular e B=A^-1 .

Equações lineares: definição, Princípio da Sobreposição, as equações lineares T(x)=b têm 0, 1 ou ∞ soluções conforme b∉T(V) , (b∈T(V) e N(T)={0}) ou (b∈T(V) e N(T)≠{0}).

Descrição geométrica de elipses e outras cónicas (hipérboles e parábolas) como:
(1) secções planas de superfícies cónicas;
(2) lugar geométrico de pontos com distância a um ponto fixo (chamado foco) igual à distância a uma recta fixa (chamada directriz) multiplicada por uma constante e>0 (chamada excentricidade); é uma elipse se e só se 0<e<1, uma parábola se e só se e=1, uma hipérbole se e só se  e>1 ; elipses e hipérboles têm 2 focos e 2 directrizes simétricas em relação ao centro de simetria da curva cónica; parábolas têm só 1 foco e 1 directriz.
Equações cartesianas de elipses e hipérboles centradas na origem e simétricas em relação a eixos coordenados ortogonais, e de parábolas com vértice na origem e simétricas em relação a um dos eixos coordenados (chamadas equações canónicas das respectivas cónicas). Propriedades de reflexão de elipses, hipérboles e parábolas, e referência a aplicações a espelhos, reflectores de som e antenas. 

8ª Aula prática

4 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre transformações lineares.

8ª Aula prática

3 novembro 2015, 11:00 • Ricardo Coutinho

Resolução e discussão de problemas sobre transformações lineares.