Definição de produto interno de dois vetores de R ⁿ; propriedades: simetria, homogeneidade, positividade. Definição de norma e devedor unitário. Bases ortogonais e ortonormais (ou ortonormadas) para subespaços de R ⁿ. Complemento ortogonal de um subespaço de V. Exemplos: complemento ortogonal do plano x+y+z=0.

Propriedades do complemento ortogonal de um subespaço: é um subespaço de V, em soma direta com o subespaço dão o espaço V, a interseção dum subespaço e do seu complemento ortogonal resulta no vetor nulo.

Complementos ortogonais de LinA, com A mxn, e de ColA. Exemplo com uma matriz 2x3.

Transformações lineares entre espaços vetoriais "abstratos". Exemplo da derivada como transformação linear entre o espaço de polinómios de grau menor ou igual a 3, P ₃, que é uma transformação linear não invertível, com núcleo não-trivial igual a L{1}, imagem  L{1, t, t ²} que não é igual ao espaço de chegada, e que tem zero como va.p. repetido 4 vezes, não sendo diagonalizável. Matriz 4x4 que representa T, [T] _B , na base canónica dos polinómios de grau menor ou igual a 3.

Teorema da representação diagonal matricial: se T(x)=Ax,com A nxn e A=PDP ^-1 sendo D diagonal e P com as n colunas L.I., ou seja base para R ⁿ, então D é a matriz que representa T essa base.