Planeamento

Aulas Teóricas

Apresentação

Apresentação do método de funcionamento da disciplina.

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares. Sistemas possíveis e sistemas determinados.

Resolução de um exemplo pelo método de eliminação de Gauss.

Sistemas em notação matricial

Notação matricial de sistemas lineares. 

Noção de pivot. Matrizes em escada por linhas. Exemplos de aplicação do método de Gauss

Sistemas em notação matricial (continuação)

Matrizes em escada por linhas na forma reduzida e método de Gauss-Jordan.

Variáveis livres e variáveis dependentes. Característica e grau de indeterminação de um sistema linear.

Operações sobre matrizes

Soma, multiplicação por escalares e produto de matrizes. Propriedades e exemplos. Matriz transposta.

Matriz inversa

Matrizes invertíveis e propriedades da inversa. Matrizes elementares.

Matriz inversa (cont.)

Caracterização da invertibilidade e cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.

Espaços vectoriais

Espaços e subespaços vectoriais. Exemplos. Combinação linear de vectores. Espaço gerado por um conjunto de vectores.

Vectores linearmente independentes e bases

Vectores linearmente independentes. Propriedades e exemplos. Bases e dimensão de um espaço vectorial.

Continuação das aulas anteriores

Continuação do assunto das aulas anteriores: exemplos.

Espaço das colunas e espaço nulo

Espaço das colunas e espaço nulo, característica e nulidade de uma matriz. Exemplos.

Espaços vectoriais intersecção e soma

Bases de espaços vectoriais intersecção e soma. Exemplos.

Matrizes de mudança de base

Representação de vectores em bases. Matrizes de mudança de base. Exemplos.

Continuação

Continuação do assunto da aula anterior. Exemplos de matrizes de mudança de base.

Transformações lineares

Transformações lineares: definição, propriedades, exemplos.

Representação matricial de transformações lineares

Representação matricial de transformações lineares em diversas bases. Exemplos.

Continuação

Continuação do assunto da aula anterior.

Composição de transformações lineares

Transformação composta e sua representação matricial. Exemplos.

Núcleo e imagem de uma transformação linear

Núcleo e imagem de uma transformação linear. Injectividade e sobrejectividade. Transformação inversa.

Continuação

Continuação do assunto da aula anterior. Propriedades e exemplos.

Determinantes

A regra de Laplace para o cálculo de determinantes. Propriedades dos determinantes.

Determinantes (continuação)

Cálculo de determinantes via eliminação de Gauss. Exemplos.

Determinantes (continuação)

Propriedades dos determinantes e exemplos.

Matriz dos co-factores

Matriz dos co-factores e matriz adjunta. Aplicação ao cálculo da matriz inversa.

Regra de Cramer

Regra de Cramer. Exemplos.

Vectores próprios e valores próprios

Vectores próprios e valores próprios de matrizes. Equação característica. Espaços próprios.

Revisões

Revisões (preparação para o teste).

Vectores próprios e valores próprios (cont.)

Multiplicidades algébrica e geométrica dos valores próprios. propriedades e exemplos.

Diagonalização de matrizes

Matrizes diagonalizáveis: caracterização, propriedades e exemplos.

Continuação

Continuação do assunto da aula anterior. Exemplos.

Produto interno

Produto interno e norma em R^n. Ângulo entre dois vectores. Propriedades (desigualdade triangular e desigualdade de Cauchy-Schwarz em particular). Teorema de Pitágoras.

Ortogonalidade

Vectores ortogonais. Complemento ortogonal de um subespaço vectorial. Projecções ortogonais. Conjuntos de vectores ortogonais e ortonormados. Propriedades e exemplos.

Método de Gram-Schmidt

O método de Gram-Schmidt para ortogonalização (e ortonormalização) de bases de espaços vectoriais.

Matrizes ortogonais

Algumas propriedades dos complementos ortogonais de um espaço vectorial (continuação da aula anterior).Matrizes ortogonais: propriedades e exemplos.

Geometria de k-planos em R^n

Equações paramétricas e equações cartesianas de k-planos em R^n.

Distâncias entre k-planos

Distâncias entre k-planos. Exemplos.

Revisões

Revisões da matéria dada.