2ª Aula prática

26 setembro 2018, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares e multiplicação de matrizes.

5ª Aula - Revisão: Operações de eliminação de Gauss realizadas por multiplicação à esquerda das matrizes sucessivas por matrizes de permutação ou regulares; inversas destas matrizes; produtos de matrizes nxn triangulares inferiores (resp. superiores)são triangulares inferiores (resp. superiores); inversa de produto de matrizes com inversa. Matrizes regulares. Factorização triangular de matrizes regulares e factorização PA=LU de matrizes gerais

25 setembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: 
(1) Operações de eliminação de Gauss correspondem a multiplicações por matrizes: (a) trocar linhas i e j : multiplicar à esquerda por matriz de permutação P_ij ; (b) subtrair à linha i a linha j multiplicada por c :  multiplicar à esquerda por matriz elementar E_ij(-c).
(2) Teoremas:
      (a) Matrizes elementares e de permutação têm inversas, resp.: [E_ij(a)]^-1=E_ij(-a) , P^-1=P^t ( P_ij^-1=P_ij pois P_ij é simétrica).
      (b) A,B triangulares inferiores (resp., superiores) ⇒ AB triangular inferior (resp., superior).
      (c) A,B matrizes nxn com inversas ⇒ AB tem inversa e (AB)^-1=B^-1A^-1.
(3) Atenção: Algumas matrizes elementares nxn comutam e outras não e omesmo aconrtece com matrizes de permutação.

Definição de matriz regular: matriz quadrada tal que o processo de eliminação de Gauss não envolve troca de linhas e dá pivots em cada linha e coluna. 

Factorização triangular de matrizes regulares A=LDU, com L triangular inferior com 1s na diagonal principal, D diagonal com os pivots na diagonal principal e U triangular superior com 1s na diagonal principal. Unicidade de tais factorizações triangulares. A componente ij da matriz L por baixo da diagonal principal é o valores usado na eliminação de Gauss para subtrair à linha i a linha anterior j multiplicada por um nº real; logo, L tem a memória de todas as operações usadas na eliminação de Gauss.

Factorização triangular de qualquer matriz A a menos de uma permutação de linhas PA=LU, com P matriz de permutação, L triangular inferior com 1s na diagonal e U matriz em escada de linhas. 

Factorização triangular na resolução de sistemas de m equações lineares com n incógnitas (m,n∈ℕ): Ax=b ⇔ PAx=Pb ⇔ LUx=Pb ⇔ Ux=c e Lc=Pb . Como as matrizes de coeficientes dos dois últimos sistemas são triangulares, podem ser resolvidos por substituição, resp., de cima para baixo e de baixo para cima, sem ser necessário repetir a fase de eliminação.

Em computação numérica, com eliminação de Gauss aplicada a A obtém-se P, L, U. Se for necessário resolver vários sistemas com matriz de coeficientes A que diferem no termo independente, poupa-se imenso porque só se faz a fase de eliminação uma vez para todos os sistemas, e para cada um basta duas fases de substituição, e uma fase de substituição envolve muito menos operações do que a fase de eliminação.

4ª Aula - Revisão: Sistemas de m equações lineares com n incógnitas, sistemas homogéneos (têm 1, ∞ soluções) correspondentes, e Princípio de Sobreposição para sistemas de equações lineares. Eliminação de Gauss em termos de produtos de matrizes. Matrizes de permutação, elementares, triangulares, diagonais. Inversas de matrizes de permutação e de matrizes elementares.

24 setembro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão: Sistemas de m equações lineares com n incógnitas (m,n∈ℕ) (têm 0, 1, ∞ soluções) e sistemas homogéneos (têm 1, ∞ soluções) correspondentes, e Princípio de Sobreposição para sistemas de equações lineares: (1) combinações lineares de soluções de um sistema de equações lineares homogéneo são soluções desse sistema; (2) (solução geral de Au=b) = (solução geral de Ax=0)+(solução particular u_p de Au=b), sinteticamente, u=x+u_p . Interpretação geométrica: o conjunto das soluções de Au=b é a translação do das soluções de Ax=0 que passa por u_p .

Operações da eliminação de Gauss expressas por produtos de matrizes (à esquerda): 

- matrizes de permutação de pares de linhas, definição de matrizes de permutação (há n! matrizes de permutação nxn); exemplos de matrizes de permutação; as matrizes de permutação de pares de linhas (ou colunas) são simétricas; matrizes de permutação de pares de linhas comutam se os pares de linhas permutadas envolvem linhas distintas; qualquer matriz de permutação é um produto finito de matrizes de permutação de pares de linhas; matrizes de permutação podem não comutar ou comutar; a multiplicação de uma matriz à esquerda (resp. direita) por uma matriz de permutação reordena as linhas (resp. colunas) da matriz.

- matrizes elementares (do processo de eliminação de Gauss) diferem da identidade por terem um (único) elemento ≠0 abaixo da diagonal principal.

Exemplos de matrizes elementares. Matrizes elementares podem não comutar ou comutar. As componentes fora da diagonal principal de um produto sucessivo de matrizes elementares numa ordem de factores da esquerda para a direita que é subordem da ordem das operações na eliminação de Gauss (por colunas da esquerda para a direita e em cada coluna de cima para baixo por linhas abaixo da correspondente à diagonal principal) são as correspondentes componentes dos factores (com outras ordens pode ser falso). 

Inversão de operações elementares e de permutações de pares de linhas (E(c)^-1=E(-c), P_ij^-1=P_ij).  Se X, Y são matrizes elementares ou de permutação, (XY)^-1=Y^-1X^-1. Inversão de qualquer matriz de permutação P: P^-1=P^t. 

Matrizes triangulares superiores e triangulares inferiores. As matrizes elementares e respectivas inversas são triangulares inferiores com 1s na diagonal principal. Produtos de matrizes triangulares superiores (resp. inferiores) são triangulares superiores (resp. inferiores).

Matrizes diagonais. Produtos de matrizes diagonais por matrizes (à esquerda e direita). Exemplos.

1ª Aula prática

21 setembro 2018, 12:00 • Ricardo Coutinho

Apresentação. Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares.

3ª Aula - Revisão: definição do produto de matrizes. Exemplos e propriedades básicas de produto de matrizes, utilização de matrizes para escrever sistemas de equações lineares, transposição de matrizes, matrizes simétricas, matrizes identidade. Princípio de Sobreposição para soluções de sistemas de equações lineares.

20 setembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Definição do produto de matrizes.

Escrita de sistema de equações lineares com matrizes: Ax=b .

Exemplos concretos de produtos de matrizes.

Propriedades fundamentais do produto de matrizes: elemento ij de AB é o produto da linha i de A pela coluna j de B ; linha i de AB é o produto da linha i de A por B ; coluna j de AB é o produto de A pela coluna j de B; associatividade; distributividade em relação à adição (à esquerda e à direita); matrizes identidade são elementos neutros da multiplicação de matrizes (com dimensões compatíveis); não comutatividade, em geral (exemplos de matrizes comutáveis e não comutáveis).

Definição de transposta de matriz. (A^t)^t=A. (AB)^t=B^tA^t. Definição de matriz simétrica (A^t=A).

Princípio de Sobreposição para soluções de sistemas de equações lineares:

- a soma de soluções de um sistema de equações lineares homogéneo multiplicadas por nºs reais é solução desse sistema.

- a diferença de soluções de um sistema de equações linear qualquer é solução do sistema homogéneo correspondente.

- a solução geral de um sistema de equações lineares é a soma de uma solução particular com a solução geral do sistema homogéneo correspondente.