5ª Aula - Revisão: Operações de eliminação de Gauss realizadas por multiplicação à esquerda das matrizes sucessivas por matrizes de permutação ou regulares; inversas destas matrizes; produtos de matrizes nxn triangulares inferiores (resp. superiores)são triangulares inferiores (resp. superiores); inversa de produto de matrizes com inversa. Matrizes regulares. Factorização triangular de matrizes regulares e factorização PA=LU de matrizes gerais

25 Setembro 2018, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: 
(1) Operações de eliminação de Gauss correspondem a multiplicações por matrizes: (a) trocar linhas i e j : multiplicar à esquerda por matriz de permutação Pij ; (b) subtrair à linha i a linha j multiplicada por c :  multiplicar à esquerda por matriz elementar Eij(-c).
(2) Teoremas:
      (a) Matrizes elementares e de permutação têm inversas, resp.: [Eij(a)]-1=Eij(-a) , P-1=Pt ( Pij-1=Pij pois Pij é simétrica).
      (b) A,B triangulares inferiores (resp., superiores) ⇒ AB triangular inferior (resp., superior).
      (c) A,B matrizes nxn com inversas ⇒ AB tem inversa e (AB)-1=B-1A-1.
(3) Atenção: Algumas matrizes elementares nxn comutam e outras não e omesmo aconrtece com matrizes de permutação.

Definição de matriz regular: matriz quadrada tal que o processo de eliminação de Gauss não envolve troca de linhas e dá pivots em cada linha e coluna. 

Factorização triangular de matrizes regulares A=LDU, com L triangular inferior com 1s na diagonal principal, D diagonal com os pivots na diagonal principal e U triangular superior com 1s na diagonal principal. Unicidade de tais factorizações triangulares. A componente ij da matriz L por baixo da diagonal principal é o valores usado na eliminação de Gauss para subtrair à linha i a linha anterior j multiplicada por um nº real; logo, L tem a memória de todas as operações usadas na eliminação de Gauss.

Factorização triangular de qualquer matriz A a menos de uma permutação de linhas PA=LU, com P matriz de permutação, L triangular inferior com 1s na diagonal e U matriz em escada de linhas. 

Factorização triangular na resolução de sistemas de m equações lineares com n incógnitas (m,n∈ℕ): Ax=⇔ PAx=P⇔ LUx=P⇔ Ux=c e Lc=Pb . Como as matrizes de coeficientes dos dois últimos sistemas são triangulares, podem ser resolvidos por substituição, resp., de cima para baixo e de baixo para cima, sem ser necessário repetir a fase de eliminação.

Em computação numérica, com eliminação de Gauss aplicada a A obtém-se P, L, U. Se for necessário resolver vários sistemas com matriz de coeficientes A que diferem no termo independente, poupa-se imenso porque só se faz a fase de eliminação uma vez para todos os sistemas, e para cada um basta duas fases de substituição, e uma fase de substituição envolve muito menos operações do que a fase de eliminação.