12ª Aula prática

5 dezembro 2018, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre equações cartesianas de planos e sobre determinantes.

35ª Aula - Revisão: Matriz de cofactores e fórmula para a inversa de matriz não singular em termos de determinantes. Regra de Cramer para resolução de sistemas de n equações lineares com n incógnitas. Revisão: Definição de valor e vector próprio. Espaço próprio, multiplicidade geométrica de valor próprio. Polinómio característico de matriz e relação com valores próprios da matriz e de transformações lineares que a matriz representa, multiplicidade algébrica de valor próprio. Propriedades de polinómios característicos. Toda transformação linear num espaço linear complexo tem pelo menos um valor próprio e toda matriz real ou complexa tem pelo menos um valor próprio complexo. Exemplos de transformações lineares em espaço linear real: sem valores próprios, não diagonalizável.

4 dezembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Matriz cof A de cofactores de matriz nxn,  Aplicando a fórmula de Laplace, A(cof A)^t=(det A)I_n . Se A é não singular, fórmula explícita para A^-1 é A^-1=(1/det A)(cof A)^t. 

Para matrizes genéricas calcular inversas deste modo é muito ineficiente. Referência a aplicações da fórmula para analisar sensitividade a erros de medida ou arredondamento.

Regra de Cramer para resolução de sistemas de n equações lineares com n incógnitas com matriz de coeficientes A não singular: a solução de Ax=b é x=(x₁,...,x_n) com x_j=(det C_j)/(det A) , em que C_j é a matriz obtida de A substituindo a coluna j por b (prova: x=A^-1b=[1/(det A)](cof A)^t, pelo que x_j = [1/(det A)] ∑_kb_k(cof A)_kj= (det C_j)/(det A) .

Para matrizes genéricas calcular soluções deste modo é muito ineficiente. Referência a aplicações da fórmula para analisar sensitividade a erros de medida ou arredondamento. Além disso a regra e Cramer permite obter uma das incógnitas sem calcular as outras, o que em geral não é possível com eliminação de Gauss.

Revisão: Definição de valor próprio e vector próprio de transformação linear T∈L(V,W) com V e de matriz, valor próprio λ e vector próprio u associados são escalar e vector u≠0 tais que T(u)=λu com  . Os vectores próprios definem direcções do espaço invariantes sob aplicação da transformação linear ou da matriz, o svalores próprios são os correspondentes escalares de escalamento nessas direcções. Os valores próprios são os escalares para que a equação linear homogénea T(u)-λu=0 tem infintas soluções e os vectores próprios associados são as soluções u≠0 . λ escalar é valor próprio se e só se N(T-λ1_U)≠{0}, u é vector próprio se e só se pertene a N(T-λ1_U)\{0}. Analogamente para matrizes.

Definição: Espaço próprio de T associado a valor próprio λ é E(λ)=N(T-λ1_U)≠{0} e multiplicidade geométrica de valor próprio λ é m.g.(λ)=dim E(λ) .

Se T∈L(V) e dim V=n é finita, e A é a representação matricial de T numa base de V, então λ, u são valor e vector próprios associados de T se e só se são valor e vector próprio associados de A , o que acontece se e só se p_A(λ)=det(A-λI_n)=0 (equação característica de A ). Chama-se a p_A polinómio característico de A . 

Os valores próprios de T e de A são os zeros do polinómio característico de A que pertencem aos escalares do espaço linear V. O polinómio característico tem grau n e é da forma p_A(λ) = (-1)ⁿλⁿ + (-1)^n-1(tra A)λ^n-1+ c_n-2λ^n-2 + ··· + c₁λ + det A , com c_n-2, ..., c₁ coeficientes escalares. Do Teorema Fundamental da Álgebra (polinómios reais ou complexos não constantes têm pelo menos um zero complexo, o que falha com escalares reais) e da divisão polinomial, com escalares complexos o polinómio característico pode ser factorizado em factores lineares p_A(λ)=(λ-λ₁)ⁿ₁··· (λ-λ_k)ⁿ_k com λ₁, ..., λ_k∈ℂ distintos, em que n_j é chamado multiplicidade algébrica do zero λ_{j ,} m.a.(λ_j ). Em espaços lineares reais os valores próprios são os zeros reais e em espaços lineares complexos os valores próprios são os zeros complexos do polinómio característico.  Toda transformação linear num espaço linear complexo de dimensão finita tem pelo menos um valor próprio. Toda matriz real ou complexa tem pelo menos um valor próprio complexo.

T∈L(V) com dim V=n finita tem representação diagonal em alguma base de V se e só se existe uma base de V constituída por vectores próprios de T, ou seja se e só se existem n vectores próprios de T linearmente independentes, quando existem as representações diagonais têm na diagonal principal os valores próprios de T, repetidos de acordo com a respectiva multiplicidade algébrica, e bases ordenadas em que a representação é diagonal são bases constituídas por vectores próprios de T associados aos respectivos valores próprios na diagonal principal, pela ordem correspondente.

Observação: nem todas T∈L(V) com dim V=n finita têm representação matricial diagonal (i.e. nem todas as matrizes nxn são diagonalizáveis por mudança de base) e, portanto, pode não ser possível desacoplar totalmente a dependência das componentes do domínio para as imagens de T (por não existirem n vectores próprios de T linearmente independentes), mas pode-se provar que se pode sempre desacoplar todas as variáveis menos duas (cada uma e possivelmente uma adjacente).

Exemplo de transformação linear sem representação diagonal em qualquer base.

Exemplo ilustrando a diferença de considerar valores próprios em espaços lineares reais e complexos. o conjunto dos valores próprios de transformação linear em espaço linear real pode ser vazio, mas em espaço linear complexo de dimensão finita é sempre não vazio (devido ao Teorema Fundamental da Álgebra).

Se A é matriz quadrada real ou complexa det A e tra A são, respectivamente, o produto e a soma dos valores próprios complexos repetidos de acordo com multiplicidade algébrica.

Se A é matriz quadrada real, os valores próprios não reais ocorrem em pares conjugados com a mesma multiplicidade algébrica de cada par conjugado.

34ª Aula - Revisão: Definição e propriedades básicas de determinante. Continuação de determinantes: fórmula para determinantes a partir da definição (com permutações), existência e unicidade de determinante, cálculo por eliminação de Gauss, fórmula de Laplace, determinante de matrizes triangulares e de transpostas de matrizes, determinante e não singularidade de matriz, determinante do produto de matriz, determinante da inversa de matriz não singular, aplicações de determinantes (volume-n de paralelepípedos-n em ℝn, volume-k de paralelepípedos-k em ℝn (raiz quadrada do determnante da matriz de Gram das arestas), fórmula para inversa de matriz não singular em termos do determinante e da matriz cofactor.

3 dezembro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de determinante em |K ⁿ (|K=ℝ ou |K=ℂ) (função d:(|K ⁿ) ⁿ→|K, multilinear nula se dois argumentos iguais, 1 se argumentos são a base canónica de |K ⁿ). Se A é matriz nxn det A=d( a ₁, ...,  a _n) em que  a _j é a linha j de A . Vol _nP( a ₁, ...,  a _n) = |d( a ₁, ...,  a _n)| = |det A| . Propriedades: =0 se algum argumento =0 ; muda de sinal com a troca de um par de argumentos; =0 se argumentos linearmente dependentes.

Exemplo: Fórmula para determinante de matriz 3x3 obtida directamente da definição (na aula anterior obteve-se para 2x2). 

Fórmula geral para o determinante directamente da definição (em termos de permutações): soma de parcelas que são todos os produtos possíveis de n componentes da matriz, uma de cada linha e coluna sem repetições, com o sinal positivo ou negativo conforme a permutação das colunas consideradas para cada linha pela ordem (1,2, ..., n) é par ou ímpar (i.e. conforme pode ser levada para a ordem crescente por um nº par ou ímpar de trocas de 1 par de cada vez)  Em consequência obtém-se:

Teorema: A função determinante d:(|Kⁿ)ⁿ→|K existe e é única.

O determinante de matrizes quadradas permanece invariante subtraindo a qualquer linha uma outra multiplicada por uma escalar.

Cálculo de determinantes de matrizes A nxn por eliminação de Gauss: (1) se há menos de n pivots, det A=0; (2) se há n pivots, det A=±(produto dos pivots) com sinal + ou - conforme o nº de trocas de linhas na eliminação de Gauss é par ou ímpar.

Se A é matriz quadrada, det A≠0 se e só se A é não singular (det A=0 se e só se A é singular).

Definições: menor-ij de matriz A (é o det A_ij  em que A_ij  é a submatriz obtida suprimindo a A a linha i e a coluna j ), cofactor-ij de matriz A (é (cof A)_ij=(-1)^i+jdet Aij ), matriz dos cofactores de uma matriz quadrada A (é a matriz com componente-ij igual ao cofactor-ij de A), Fórmula de Laplace em relação a uma qualquer linha para cálculo de determinantes (det A = ∑_j a_ij (cof A_ij) = ∑_j (-1)^i+j a_ij det A_ij ); idem em relação a uma qualquer coluna (det A = ∑_i a_ij (cof A_ij) = ∑_i (-1)^i+j a_ij det A_ij ). Exemplos.

Observação: genericamente para matrizes que não sejam de muito pequena dimensão o cálculo é mais eficiente com eliminação de Gauss, os outros métodos podem ser mais eficientes para matrizes esparsas com estruturas particulares; além disso, dão fórmulas que permitem obter a sensitividade do determinante a partir das componentes da matriz.

Se A,B são matrizes nxn, então det AB=(det A)(det B) (prova: se det B≠0, a função definida por f(A)=(det AB)/(det B) satisfaz as 3 condições da definição de det, e como esta é uma função única f(A)=det A ; se det B=0, as linhas de B são linearmente dependentes, e rank B<n , pelo que rank AB≤min{rank A, rank B}<n e, então, as linhas de AB são linearmente dependentes e det AB=0). Se A é matriz quadrada não singular, então det A^-1=1/(det A) (prova (det A)(det A^-1)=det AA^-1=det I_n=1).

Aplicações de determinantes:

(1) Cálculo de volumes-n de paralelepípedos-n em ℝⁿ: vol_nP(a₁,..., v_n)=|d(a₁,...,a_n)| .

(2) Cálculo de volumes-k de paralelepípedos-k em ℝⁿ (k=1,...,n): vol_kP(a₁,..., a_k)=(det[a_j·a_i]_i,j=1^n,n)^1/2=[det(A^tA)]^1/2 (raiz quadrada da matriz de Gram de (a₁,..., a_k) no produto interno canónico).

(3) Fórmula para inversa de matriz não singular nxn : A^-1=[1/(det A)](cof A)^t . 

Observação: para uma matriz genérica que não seja de muito baixa dimensão o cálculo com esta fórmula é computacionalmente muito menos eficiente do que com eliminação de Gauss, mas a fórmula permite obter a sensitividade das componentes da inversa a partir das componentes da matriz e calcular directamente uma componente, além de interesse teórico.

11ª Aula prática

30 novembro 2018, 12:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre projecções ortogonais, equações cartesianas de planos, aproximações de quadrados mínimos e produto externo.

33ª Aula - Revisão de produto externo: defijição, propriedades básicas, descrição geométrica. Paralelepípedo-n em Rn. Determinantes: Motivação geométrica e com propriedades do produto externo, definição axiomática com base em propriedades de volumes de paralelepípedos-n, propriedades gerais, cálculo de determinantes directamente com a definição e por eliminação de Gauss.

29 novembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Produto externo de dois vectores de ℝ ³. Definição, 4 propriedades básicas (bilinearidade, antisimetria, ortogonalidade aos factores, quadrado da norma = à diferença dos quadrados dos 2 lados da Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Descrição geométrica (direcção, sentido e comprimento). O produto externo de dois vectores não é 0 se e só se os vectores são linearmente independentes (não há igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz, o que equivale a independência linear dos vectores).

Propriedades do produto externo de vectores linearmente independentes (com os vectores dos factores forma um conjunto de três vectores linearmente independente, logo uma base de ℝ³; todo o vector ortogonal a dois vectores é colinear com o produto externo dos vectores). 

Observação: É possível definir um produto externo com as 4 propriedades básicas unicamente em ℝ³ e ℝ⁷.

Determinante 

Motivação com a ideia de se pretender que o valor absoluto do determinante de n vectores em ℝⁿ dê o volume-n do paralelepípedo-n com esses vectores como arestas, definição de paralelepípedo-n e ilustração geométrica do sentido de volume-n (volume-1=comprimento, volume-2=área, volume-3=volume clássico). Motivação com analogia com propriedades do produto externo (bilinearidade, anulação se os dois factores são iguais, produto externo de vectores ortonormais é 1.

Definição de determinante como função de (ℝⁿ)ⁿ em ℝ tal que: 
(1) Multilinearidade (linearidade em cada argumento com os outros fixos), 
(2) Anulação (quando dois argumentos são iguais), 
(3) Normalização (=1 quando os argumentos são a base canónica de ℝⁿ).

Propriedades gerais do determinante (=0 se um argumento =0, muda de sinal com troca de um par dos argumentos, determinante de n vectores linearmente dependentes em ℝⁿ ou ℂⁿ é 0).

Definição de determinante de matriz quadrada como sendo o determinante do múltiplo ordenado das linhas da matriz.

Exemplo: Cálculo de determinante de matrizes 2x2 directamente a partir da definição e verificação que coincide com a fórmula dada na parte inicial das aulas. Referência a que se podem calcular determinantes de qualquer ordem desta maneira, mas envolve contas excessivas.

Cálculo de determinante de matriz A nxn por eliminação de Gauss: Quando se subtrai a uma linha um múltiplo da outra (o que é uma combinação linear de linhas) o determinante não se altera. Quando se troca um par de linhas o determinante muda de sinal. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos na diagonal principal. Se são obtidos n pivots, det A = +ou- produto dos pivots, com + ou - conforme o nº de trocas de linhas foi par ou ímpar; se há menos de n pivots, há um 0 na diagonal principal e det A=0. Conclui-se: A é não singular se e só se det A é diferente de 0.