4ª Aula - Revisão: Sistemas de m equações lineares com n incógnitas, sistemas homogéneos (têm 1, ∞ soluções) correspondentes, e Princípio de Sobreposição para sistemas de equações lineares. Eliminação de Gauss em termos de produtos de matrizes. Matrizes de permutação, elementares, triangulares, diagonais. Inversas de matrizes de permutação e de matrizes elementares.

24 Setembro 2018, 12:00 Luis Magalhães

Revisão: Sistemas de m equações lineares com n incógnitas (m,n∈ℕ) (têm 0, 1, ∞ soluções) e sistemas homogéneos (têm 1, ∞ soluções) correspondentes, e Princípio de Sobreposição para sistemas de equações lineares: (1) combinações lineares de soluções de um sistema de equações lineares homogéneo são soluções desse sistema; (2) (solução geral de Au=b) = (solução geral de Ax=0)+(solução particular up de Au=b), sinteticamente, u=x+u. Interpretação geométrica: o conjunto das soluções de Au=b é a translação do das soluções de Ax=0 que passa por up .

Operações da eliminação de Gauss expressas por produtos de matrizes (à esquerda): 

- matrizes de permutação de pares de linhas, definição de matrizes de permutação (há n! matrizes de permutação nxn); exemplos de matrizes de permutação; as matrizes de permutação de pares de linhas (ou colunas) são simétricas; matrizes de permutação de pares de linhas comutam se os pares de linhas permutadas envolvem linhas distintas; qualquer matriz de permutação é um produto finito de matrizes de permutação de pares de linhas; matrizes de permutação podem não comutar ou comutar; a multiplicação de uma matriz à esquerda (resp. direita) por uma matriz de permutação reordena as linhas (resp. colunas) da matriz.

- matrizes elementares (do processo de eliminação de Gauss) diferem da identidade por terem um (único) elemento ≠0 abaixo da diagonal principal.

Exemplos de matrizes elementares. Matrizes elementares podem não comutar ou comutar. As componentes fora da diagonal principal de um produto sucessivo de matrizes elementares numa ordem de factores da esquerda para a direita que é subordem da ordem das operações na eliminação de Gauss (por colunas da esquerda para a direita e em cada coluna de cima para baixo por linhas abaixo da correspondente à diagonal principal) são as correspondentes componentes dos factores (com outras ordens pode ser falso). 

Inversão de operações elementares e de permutações de pares de linhas (E(c)-1=E(-c), Pij-1=Pij).  Se X, Y são matrizes elementares ou de permutação, (XY)-1=Y-1X-1. Inversão de qualquer matriz de permutação P: P-1=Pt

Matrizes triangulares superiores e triangulares inferiores. As matrizes elementares e respectivas inversas são triangulares inferiores com 1s na diagonal principal. Produtos de matrizes triangulares superiores (resp. inferiores) são triangulares superiores (resp. inferiores).

Matrizes diagonais. Produtos de matrizes diagonais por matrizes (à esquerda e direita). Exemplos.