8ª Aula - Eficiência computacional da eliminação de Gauss e sucessiva melhoria. Notas históricas sobre sistemas de equações lineares, eliminação de Gauss e matrizes. Motivação para definição de espaços lineares. Espaços lineares e subespaços lineares: definição, exemplos e condição necessária e suficiente para subconjunto de espaço linear ser subespaço linear com as mesmas operações.

2 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Eficiência computacional do método de eliminação de Gauss. Ordem assimptótica do nº de multiplicações e de adições de nºs reais com matrizes genéricas nxn: resolução de sistemas de equações n³/3; inversão de matriz n³; multiplicação directa de matrizes n³. Referência a escolha de pivots e a escalamento de linhas ou colunas para maior precisão quando há pivots muito pequenos, considerados em Análise Numérica.

Métodos computacionais de elevada deficiência para produto de matrizes (logo, também resolução de sistemas de equações lineares e inversão de matrizes) do tipo de Método de Strassen (1967): ordem assimptótica de nº de operações de nºs reais para matrizes nxn genéricas n^2,807=n^log2⁷. Melhorias sucessivas em 1978-1987, 2010, 2011 e 2014 (n^2,3728639, F. Le Gall).

Notas históricas sobre sistemas de equações lineares, eliminação de Gauss e matrizes.

Motivação para definição de espaços lineares.

Espaço linear (ou vectorial) real: ideia de espaço para formular Princípio de Sobreposição; definição; propriedades 0v=0 e (-1)v=-v para todo vector v .

Exemplos de espaços lineares com operações usuais: ℝⁿ (n nº natural), ℝ^mxn (m,n nºs naturais) conjunto das matrizes mxn com componentes reais, ℝ^ℕ (ℕ conjunto dos nºs naturais) conjunto das sucessões de nºs reais; ℝ^S (S conjunto ≠∅), conjunto das funções com valores reais definidas em S ; exemplos de subconjuntos de ℝ que não são espaços lineares: ℝ⁺ (não contém 0 ), ℝ⁺U {0}  (não contém simétricos de elementos d≠0), ℤ nºs inteiros (não contém  (1/2)1=1/2 ).

Subespaços lineares de espaços lineares: definição; qualquer espaço linear tem subespaços {0} e V, se existem subespaços diferentes contêm o 1º e estão contidos no 2º; um subconjunto S de um espaço linear V é um subespaço linear de V se e só se é ≠∅ e satisfaz as propriedades de fecho da adição e da multiplicação por escalares. 

7ª Aula - Revisão: Definição de inversa de matriz, invertibilidade e cálculo de inversas de matrizes. Continuação de inversão de matrizes por blocos. Matrizes com diagonal dominante e condição suficiente para invertibilidade de matriz. Invertibilidade, cálculo directo de inversas de matrizes 2x2, determinante e regra de Cramer para obter a solução de sistema de 2 equaç~ºoes com duas incógnitas com solução única. Multiplicação de matrizes por blocos e não singularidade e inversão de matrizes por blocos. Condição necessária e suficiente para matriz ser regular em termos de submatrizes. Referência à grande eficiência computacional da eliminação de Gauss.

1 outubro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de matriz invertível ou não singular e de inversa de matriz quadrada. Unicidade de inversa, determinação de invertibilidade e, em caso afirmativo da inversa de uma matriz por eliminação de Gauss e por eliminação de Gauss-Jordan.

Definição: Matrizes com diagonal (estritamente) dominante (por linhas, por colunas, por linhas ou colunas).

Teorema (condição suficiente para existência de inversa): Se uma matriz quadrada tem diagonal estritamente dominante é não singular. Exemplos de aplicação (directa e indirecta).

Não singularidade e inversão de matrizes 2x2: condição geral de invertibilidade  (produto das componentes na diagonal principal menos o das componentes fora da diagonal principal diferentes de 0, a que se chama determinante da matriz da matriz 2x2) e cálculo geral da inversa (recíproco do determinante multiplicado pela matriz obtida trocando as componentes na diagonal principal e mudando de sinal as outras componentes).

Resolução de sistemas lienares de 2 equações com 2 incógnitas com solução única pela regra de Cramer: a incógnita i é o quociente do detrminante da matriz que se obtém da matriz dos coeficientes substituindo a coluna i pelo termo independente pelo determinante da matriz dos coeficientes.

Produto de matrizes por blocos.

Inversão de matrizes com 4 blocos de matrizes quadradas (desde que um bloco na diagonal principal de blocos tenha inversa assim como outra matriz obtida por operações adequadas dos 4 blocos e da inversa do bloco na diagonal principal de blocos referido).

Condição necessária e suficiente para matriz nxn ser regular: as n submatrizes kxk com elementos das 1ªs k linhas e colunas têm inversa.

2ª Aula prática

28 setembro 2018, 12:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares e multiplicação de matrizes.

6ª Aula - Revisão: Factorização triangular de matrizes. Inversas de matrizes quadradas: definição e propriedades gerais. Eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan para inversão de matrizes.

27 setembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: (1) Factorização triangular de qualquer matriz A , PA=LU. Pode-se obter uma destas factorizações por eliminação de Gauss, P é obtidas das trocas de linhas, U é a matriz em escada de linhas no final da eliminação de Gauss e L é a matriz triangular inferir com 1s na diagonal principal que na componente ij (i>j) tem o nº por que foi multiplicada a linha j para subtrair à linha i.(2) Factorização triangula de matrizes regulares: A=LDU. É única. Neste caso U é traingular superior com 1s na diagonal principal e D é a matriz diagonal com os pivots na diagonal principal.Observação: O processo de eliminação de Gauss corresponde a factorização triangular.

Inversas de matrizes quadradas: definição, unicidade, matrizes não singulares.

Exemplos de cálculo de inversas de matrizes de permutação, elementares, diagonais e triangulares (uma matriz triangular tem inversa se e só se os elementos na diagonal principal são ≠0 ).

Produtos finitos de matrizes com inversas A₁...A_N têm inversas (A₁...A_N)^-1=A_N^-1...A₁^-1.

A inversa de uma matriz não singular tem inversa e (A^-1)^-1=A .

A transposta de uma matriz não singular tem inversa (A^t)^-1=(A^-1)^t .

Uma matriz nxn A tem inversa se e só se cada sistema de equações lineares A x=b tem solução única para cada b nx1; a solução é x=A^-1b .

Uma matriz nxn tem inversa se e só se eliminação de Gauss dá n pivots; A^-1 é a solução X de AX=I_n .

Exemplos de determinação se uma matriz tem inversa por eliminação de Gauss.

Cálculo de inversas de matrizes por eliminação de Gauss e por eliminação de Gauss-Jordan. Exemplo.

2ª Aula prática

26 setembro 2018, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares e multiplicação de matrizes.