11ª Aula prática

28 novembro 2018, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre produtos internos, bases ortogonais e equações cartesianas de planos.

11ª Aula prática

28 novembro 2018, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre produtos internos, bases ortogonais e aproximações de quadrados mínimos.

32ª Aula - Revisão: ortogonalidade de seno e coseno com períodos 2π/n com n∈ℕ e da função constante 1, espaços euclidianos de sucessões reais ou complexas ℓ2. Polinómios trigonométricos de Fourier e aproximações óptimas de funções por polinómios trigonométricos. Se S é subespaço de um espaço euclidiano V, S⊂S⊥⊥; se V=S⊕S⊥ é S⊥⊥=S (sempre se S ou S⊥ tem dimensão finita; se S e S⊥ têm dimensão finita pode ser S⊥⊥⫋S e V≠S+S⊥. É sempre S⊥=S⊥⊥. Produto externo em ℝ3: definição e propriedades básicas.

27 novembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão:
(1) No espaço euclidiano C ⁰([0,2π],ℝ)) com <f,g>=∫ ₀ ^2πfg  o conjunto {φ _j: j∈ℕ∪{0}}, em que φ ₀(t)=1/(2π) ^1/2, φ _2k(t)=cos(kt)/(π) ^1/2 , φ _2k-1(t)=sin(kt)/(π) ^1/2é ortonormal. 
(2) O espaço ℝ ^ℕ das sucessões de termos reais com <{u _n},{v _n}>=∑ ^∞ _n=1 u _nv _n=lim _m→+∞∑ ^m _n=1 u _nv _n não é espaço euclidiano porque a sucessão de somas parciais pode não ser convergente e, portanto, não dar números reais (e.g. sucessão com todos termos 1). Contudo essa sucessão é convergente se ∑ ^∞ _n=1 |u _n| ² é convergente, e o subespaço linear ℓ ² destas sucessões é espaço euclidiano com produto interno definido como indicado.
(3) Análogo em ℓ ²⊂ℂ ^ℕ com <{u _n},{v _n}>=∑ ^∞ _n=1 u _n v _n .

Aproximações óptimas de funções reais contínuas num intervalo limitado e fechado por polinómios trigonométricos de Fourier: polinómiotrigonométrico de ordem n,  polinómio de Fourier de função f, referência a séries de Fourier e à respectiva importância em aplicações e teoria.  

Se V é espaço euclidiano e S é subespaço linear de V, então S⊂S^⊥⊥.

Se V é espaço euclidiano e S é subespaço linear de V, então V=S⊕S^⊥⇒S^⊥⊥=S . 

Se dim S ou dim S^⊥ é finita, então V=S⊕S^⊥ e, portanto, S^⊥⊥=S . Se dim S e dim S^⊥ é infinita, então pode ser V≠S⊕S^⊥ e S^⊥⊥≠S , ou seja pode ser S⫋S^⊥⊥.

No espaço real euclidiano ℓ² o subespaço U das sucessões com um nº finito de termos não nulos é tal que U^⊥={0}, U^⊥⊥=ℓ²≠U , U+U^⊥≠ ℓ².

Nota: Apesar de poder ser S^⊥⊥⫋S (só possível se S e S^⊥ têm dimensão infinita), é sempre S^⊥⊥⊥=S^⊥

(dem.: S^⊥⊂(S^⊥)_.^⊥⊥=S^⊥⊥⊥ e x∈S^⊥⊥⊥⇒ x⊥S^⊥⊥⇒ x⊥S pois S⊂S^⊥⊥ . Logo, x∈S^⊥⊥⊥⇒x∈S^⊥, ou seja  S^⊥⊥⊥ ⊂S^⊥. Portanto, S^⊥⊥⊥=S^⊥).

Produto externo em ℝ³: definição, propriedades fundamentais antisimetria, (antisimetria, linearidade em cada parcela com a outra fixa -- bilinearidade, ortogonalidade a cada parcela no produto interno canónico, igualdade do quadrado da norma à diferença dos quadrados dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz com o produto interno canónico, que é equivalente à norma ser a área do paralelogramo que tem as parcelas como arestas), descrição geométrica do produto externo. 

31ª Aula - Matrizes de Gramm. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas e semidefinidas (positivas e negativas), indefinidas. Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas. Determinação se matriz é de um dos tipos considerados por eliminação de Gauss e pivots. Continuação de exemplos sobre espaços eucidianos: ortogonalidade de seno e coseno com períodos 2π/n com n∈ℕ e da função constante 1, espaços euclidianos de sucessões reais ou complexas ℓ2. 

26 novembro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Matrizes de Gramm de múltiplo ordenado de vectores de espaço euclidiano. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas positivas (resp. negativas), semidefinidas positivas (resp. negativas), indefinidas. Prova de que matrizes de Gram são simétricas para espaços euclidianos reais (resp. hermitianas para espaços lineares complexos) e são definidas positivas.

Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita: são da forma <x,y>=Y*GX , com G matriz hermitiana (i.e. G=G*) definida positiva (i.e.Z*GZ>0 para todas matrizes coluna Z≠0 ), em que X,Y são as matrizes coluna com as componentes de, respectivamente, x,y numa base ordenada do espaço; G é a matriz de Gram dos vectores da base.

Uma matriz hermitiana é definida positiva se e só se é regular e a eliminação de Gauss (sem troca de linhas) dá pivots >0 em todas as linhas (e colunas). [Prova com a factorização triangular obtida com eliminação de Gauss e respectiva unicidade]. Resultados análogos para matrizes definidas negativas (pivots <0 em todas as linhas e colunas), semidefinidas positivas (pivots >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), semidefinidas negativas (pivots <0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), e indefinidas (pivots <0 e >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas).

Continuação de exemplos cm espaços euclidianos:

(1) Revisão: No espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℂ)  com o produto interno ∫_[0,2π]f g  o conjunto de funções {e^ikt/(2π)^1/2: k∈ℤ } é ortonormal. 
Em consequência, das propriedades de produto interno, {1/(2π)^1/2, [sin(kt)]/(π)^1/2, [cos(kt)]/(π)^1/2: k∈ℕ } é ortonormal em C⁰([0,2π],ℂ) e em C⁰([0,2π],ℝ) com o produto interno dado.

(2) Espaço euclidiano de sucessões de termos reais S⊂ℝ^ℕ. Uma ideia natural para produto interno é <{u_n},{v_n}> = lim_m→+∞∑_n=1,...mu_nv_n , mas é preciso que S seja tal que este limite seja um número real, o que não acontece para todas as sucessões, e.g. ambas as sucessões com todos termos 1. Da Desigualdade de Cauchy-Schwarz em ℝ^m, ∑_n=1,...m|u_n||v_n| ≤ [∑_n=1,...m|u_n|²∑_n=1,...m|v_n|²]^1/2, pelo que a sucessão no lado esquerdo da desigualdade é crescente e é majorada (logo, convergente para um número real) seas sucessões ∑_n=1,...m|u_n|² e ∑_n=1,...m|v_n|² são convergentes. Portanto, convém escolher S={{u_n}∈ℝ^ℕ: {∑_n=1,...m|u_n|²}_m∈ℕ é uma sucessão convergente}. Como ∑_n=1,...m|u_n||v_n| é convergente se e só se ∑_n=m+ℕ|u_n||v_n|→0 quando m→0 , o que implica 0 ≤ |∑_n=m+ℕu_nv_n| ≤ ∑_n=m+ℕ|u_n||v_n| e, portanto ∑_n=m+ℕu_nv_n é convergente. <{u_n},{v_n}> é linear no 1º factor com o 2º fixo devido à linearidade de somas finitas e limites, é simétrico devido à comutatividade do produto de reais e é >0 se e só se {u_n}≠0 . Portanto, <{u_n},{v_n}> é um produto interno em S e S é um espaço euclidiano, designado ℓ². 

(3) É análogo para S⊂ℂ^ℕ com <{u_n},{v_n}> = lim_m→+∞∑_n=1,...mu_nv_n,

30ª Aula - Revisão: Soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares, regressão linear. Fórmula explícita para projecção ortogonal em |Km sobre um subespaço linear em termos de uma base do subespaço. Equações cartesianas de planos-k. Continuação de exemplos sobre espaços euclidianos.

26 novembro 2018, 08:00 • Luis Magalhães

(Aula de substituição da aula do feriado de 1.NOV, sala Ga3)

Revisão: As soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares impossíveis Ax=b , com A mxn, são as soluções de (A*A)x=A*b . Há uma só solução de quadrados mínimos se e só se A*A é não singular, ou seja se e só se rank A=n . Neste caso a solução de quadrados mínimos é x=(A*A)^-1A*b e Ax=A(A*A)^-1A*b é a projecção ortogonal no produto interno canónico em |K^m de b em R(A) , pelo que se as colunas de A são uma base de um subespaço linear S de |K^m, a projecção ortogonal em  |K^m sobre S é dada pela fórmula explícita P_S(b)=A(A*A)^-1A*b , ou seja tem representação matricial A(A*A)^-1A* na base canónica de |K^m. Aplicação a regressão linear e observação a que regressão multilinear é análoga.

Equações cartesianas de planos-k em |Kⁿ (ℝⁿ ou ℂⁿ): A(x-p)=0 é uma equação cartesiana do plano-k p+N(A) , com k=dim N(A) . Dado um plano-k {p}+S em |Kⁿ, em que S é subespaço linear de |Kⁿ, dim S=k , obtém-se uma equação cartesiana A(x-p)=0 de S com A a matriz (n-k)xn cujas linhas são uma base de S^⊥. A equação cartesiana de um plano-k em |Kⁿ é um sistema de n-k equações lineares a₁₁x₁+a₁₂x₂+ ⋯ +a_1nx_n=b₁ , ... , a_k1x₁+a_k2x₂+ ⋯ +a_k2x_n=b_k, em que (a₁₁, a₁₂, ..., a_1n), (a₂₁, a₂₂, ..., a_2n), ..., (a_k1, a_k2, ..., a_kn) são vectores ortogonais ao plano que são uma base do espaço ortogonal ao plano. Se o plano-k é ortogonal ao espaço linear gerado por (a₁₁, a₁₂, ..., a_1n) , (a₂₁, a₂₂, ..., a_2n) , ..., (a_k1, a_k2, ..., a_kn) e passa no ponto p=(p₁, ... p_n) , a equação cartesiana do plano é Ax=Ap , pelo que nas equações acima b=Ap .

Continuação de exemplos sobre espaços euclidianos:

(1) Espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℝ) com <f,g>=∫_[0,2π]fg . O ângulo entre as funções h(x)=1, k(x)=x  é arccos(∫_[0,2π]x dx/[(∫_[0,2π]1)^1/2(∫_[0,2π]x²)^1/2]) = arccos([(2π)²/2]/[(2π)^1/2(2π)^3/2/3^1/2] = 3^1/2/2 = π/6 = 30º .

(2) Espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℂ) com <f,g>=∫_[0,2π]fg . O conjunto {e^ikt/(2π)^1/2: k∈ℤ} é ortonormal.