7ª Aula prática

31 outubro 2018, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre transformações lineares.

20ª Aula - Revisão: Definição de valor e vector próprio. Existência e inexistência de representação matricial diagonal de transformação linear de um espaço de dimensão finita em si próprio. Exemplo de obtenção de base para representação matricial diagonal de transformação linear. Exemplo de transformação linear que transforma circunferências com centro na origem em elipses. Definição, equações cartesianas e descrição geométrica de curvas cónicas (elispses, hipérboles, parábolas).

30 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: 
Definição de valor e vector próprio de transformação linear T:V→V : T(x)=λx , com x≠0 e λ escalar, x é vector próprio e λ é valor próprio, dizem-se associados. 
Uma transformação linear T:V→V com dim V=n finita tem representação matricial diagonal em alguma base de V se e só se existe uma base V formada por vectores próprios, i.e. se e só se existem n vectores próprios linearmente independentes. A matriz diagonal correspondente tem na diagonal os valores próprios associados aos vectores próprios da base ordenada, pela mesma ordem.

Nem sempre existem bases de vectores próprios, ou seja nem sempre existem representações matriciais diagonais. Exemplo. 

Observação: Em espaços lineares complexos há sempre representação matricial diagonal de blocos com cada bloco com desacoplamento quase total: no máximo cada componente da imagem depende da correspondente componente do domínio e da seguinte. Referência a forma canónica de Jordan e a que os elementos na diagonal principal de formas canónicas de Jordan são valores próprios e os vectores da base correspondentes ao início de cada bloco de Jordan.

Exemplo de transformação linear em ℝ² com representação matricial diagonal e de cálculo de uma correspondente base e dos elementos na diagonal principal, ou seja de 2 vectores próprios linearmente independentes e dos valores próprios associados.

Exemplo de transformação linear em ℝ² que transforma circunferências com centro na origem em elipses com centro na origem.

Definição e equações cartesianas standard ou canónicas (eixos de simetria conincidentes com eixos coordenados) de curvas cónicas: elipses, hipérboles e parábolas. Referência a que são secções planas de uma superfície cónica e que outras secções planas são circunferências, rectas concorrentes, uma recta, um ponto e conjunto vazio; ilustração geométrica. Referência a que as curvas cónicas têm equações cartesianas quadráticas e que o caso geraql de não terem centro na origem de coordenadas e dos eixos de simetria não serem eixos coordenados ortogonais se resolve com mudanças de coordenadas por translação e rotação e que tal será feito com Álgebra Linear mais tarde.

19ª Aula - Revisão: transformação linear definida por uma matriz. Representações matriciais de transformações lineares: exemplos e mudanças de bases. Matrizes semelhantes. Transformações lineares com representações matriciais diagonais, valores e vectores próprios.

29 outubro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão: Dada matriz A mxn com componentes em |K a função definida por T(x)=Ax , T:|Kⁿ→|K^m é uma transformação linear.

Representação matricial de transformação linear entre espaços lineares de dimensão finita em relação a bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada. Se T:V→W é uma transformação linear, dim V=n, dim W=m,  x são as componentes de um vector numa base do domínio e y as componentes da imagem desse vector por T numa base do contradomínio e A é a representação matricial (mxn) de T nessas bases, então y=Ay .

Exemplos de transformações lineares e de representações matriciais em bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada, com bases canónicas e não canónicas de ℝⁿ. 

Mudanças de bases em representações matriciais de transformações lineares. Determinação de representações matriciais diagonais (desacoplamento de variáveis, direcções invariantes). 

Matrizes semelhantes. Representações matriciais de uma mesma transformação linear de um espaço de dimensão finita em si próprio são matrizes semelhantes. 

Referência a conveniência de utilizar bases em que uma transformação linear de um espaço linear de dimensãi finita em si próprio tenha representação matricial diagonal, para desacoplamento de componentes correspondentes. Exemplo de reflexão no plano em relação a recta que passa na origem. Definição de vector e valor próprio.

6ª Aula prática

26 outubro 2018, 12:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e espaços lineares reais envolvendo números complexos; e sobre matrizes mudança de base.

18ª Aula - Geometria da resolução de sistemas de equações lineares. Transformações lineares: motivação, definição e exemplos. Transformações lineares básicas da Análise Matemática: limite de sucessões convergentes, derivação de funções diferenciáveis, primitivação de funções primitiváveis, e obervação relativa a integrais.

25 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Geometria da resolução de sistemas de equações lineares: (1) existência de solução, (2) conjunto de soluções, (3) 0, 1 ou infinitas soluções.

Definição de transformação linear. 

Uma função entre espaços lineares com os mesmos escalares é uma transformação linear se e só se imagens de combinações lineares de vectores são as combinações lineares das imagens dos vectores com os mesmos coeficientes. 

Exemplos: transformação linear multiplicação por um escalar (inclui transformação zero e transformação identidade num espaço linear V (1_V), transformação linear de ℝⁿ em ℝ^m definida por matriz mxn A por T(x)=Ax , fórmula geral em termos de componentes para transformações lineares de ℝ² em ℝ², transformações lineares de ℂ em ℂ , fórmula geral das transformações lineares em termos de componentes para transformações lineares do espaço linear real dos nºs complexos em si próprio.

Transformações lineares básicas da Análise Matemática:Transformação linear definida no espaço linear S das sucessões de termos reais com limite por T({u_n})=lim u_n , transformação linear derivação no subespaço C¹(I,ℝ) das funções reais com derivada contínua num intervalo I⊂ℝ em C⁰(I,ℝ) , transformação linear primitiva de funções definidas num intervalo I⊂ℝ primitiváveis  que se anukla num ponto fixado em I . Observação a que primitivas são usadas para calcular integrais de funções contínuas em intervalos limitados e fechados de ℝ e que integrais também definem transformações lineares entre espaços lineares apropriados.