15ª Aula - Planos-k em Rn: subespaços lineares de Rn e equações cartesianas. Geometria das soluções de sistemas de equações lineares. Revisão de números complexos: definição, representação geométrica, propriedades algébricas fundamentais, representação polar, representação geométrica da soma e do produto, potências e raízes inteiras positivas.

18 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Rectas, planos e planos-k (ou variedades lineares, ou espaços afins, de dimensão k) em ℝn, k=0,1,...,n: definição e descrição geométrica.

Equações cartesianas de planos-k e relação com núcleo da matriz dos coeficiences de equação cartesiana Ax=b.

Revisão de nºs complexos: definição como conjunto ℂ de pares ordenados de nºs reais com a soma de ℝ² e o produto (a₁,b₁)(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁), observação de que as propriedades algébricas desta soma e produto de nºs complexos são as mesmas das da soma e produto de nºs reais (ℂ como ℝ ou ℚ com a soma é um grupo comutativo, e o produto é comutativo, associativo, distributivo em relação à soma, tem elemento neutro (1,0) (a unidade) e cada complexo (a,b)≠0 tem recíproco (a,b)^-1=(a,-b)/(a²+b²) , como para o produto em ℝ ou ℚ ; i.e. são algebricamente corpos). (c,0)(a₁,b₁)=(ca₁,cb₁) pelo que o nº complexo (c,0) identifica-se com o nº real  c  e a multiplicação por escalares de ℝ² está implícita na multiplicação de complexos, representação geométrica dos complexos num plano e da adição de complexos (como em ℝ²). Definição de unidade imaginária i=(0,1) .

Representação polar de nºs complexos (r cos θ , r sin θ ) : módulo, argumento, argumento principal ( θ∈]-π,π] ) . Passagem de representação polar para cartesiana e vice versa. O argumento do produto é a soma dos argumentos das parcelas e o módulo é o produto dos módulos. Determinação gráfica do produto de complexos. Potências inteiras de complexos, raízes inteiras de complexos (cada complexo ≠0 tem k raízes de ordem k∈ℤ), determinação algébrica e gráfica de potências e raízes inteiras positivas de nºs complexos.

5ª Aula prática

17 outubro 2018, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre dependência linear, bases de subespaços e números complexos.

5ª Aula prática

17 outubro 2018, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre dependência linear, bases de subespaços e números complexos.

14ª Aula - Revisão: Característica e produto de matrizes. - Invertibilidade de matrizes à direita e à esquerda e relação com sistemas de equações lineares e característica da matriz. Planos-k em Rn: subespaços lineares de  Rn

16 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Teoremas e provas:
(1) rank AB≤min{rank A, rank B}, 
(2) Produtos por matrizes não singulares (com dimensões compatíveis) não alteram a característica de uma matriz, 
(3) P matrizes quadradas A , existência de inversa à esquerda implica que essa matriz também é inversa (à direita) de A , e existência de inversa à direita implica que essa matriz também é inversa (à esquerda) de A . 

Teorema: Para qualquer matriz A , rank A^tA = rank A = rank A^t .

Teorema: Se A é matriz mxn,
(1) Os sistemas Ax=b têm solução para todo b ⇔ rank A=m (m≤n) ⇔ A tem inversa à direita.
(2) Os sistemas Ax=b não têm mais de uma solução para todo b ⇔ rank A=n (n≤m) ⇔ A tem inversa à esquerda.
(3) Os sistemas Ax=b têm solução única para todo b ⇔ m=n e A é não singular ⇔ tem inversa à direita e à esquerda.

Mudança de base: matriz de mudança de base, mudança de coordenadas com mudança de base (vectores transformam-se contravariantemente).

Rectas, planos e planos-k (ou variedades lineares, ou espaços afins, de dimensão k) em ℝn, k=0,1,...,n: definição e geometria.

13ª Aula - Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaços lineares de funções trigonométricas e exponenciais, espaço das soluções da equação diferencial y'=-ay do decaimento radioactivo,  espaço das soluções da equação diferencial y''+ay=0, a>0, do oscilador harmónico linear, prova de que a dimensão do espaço das funções reais de variável real é maior ou igual a #ℝ . Característica e nulidade e sistemas de equações lineares. Característica e produto de matrizes.

15 outubro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: as funções reais de variável real definidas por sin at, cos at , com a≠0 , são linearmente independentes em ℝ^ℝ, geram um  subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ; as funções reais de variável real definidas por sin²t , cos²t , 1 são linearmente dependentes, mas quaisquer duas geram um subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ (cada par gera um subespaço linear diferente).

Espaço linear real (de dimensão 1) das soluções da equação diferencial y'=-ay do decaimento radioactivo, 

Funções exponenciais reais de variável real u_k(t)=e^a_kt, com a_k∈ℝ , para k=1,...,n , são linearmente independentes se e só se os a_k são distintos (logo, há subconjuntos linearmente independentes no espaço linear ℝ^ℝ das funções reais de variável real com a cardinalidade dos nºs reais ( dim ℝ^ℝ ≥ #ℝ ).

Espaço linearreal (de dimensão 2) das soluções da equação diferencial my''+k²y=0 do movimento livre de massa e mola sem atrito sobre uma recta, com mola que satisfaz a Lei de Hooke da elasticidade linear e a Lei de Newton como equação do movimento.

Característica e nulidade e sistemas de equações lineares: Um sistema de equações lineares Ax=b : (1) tem solução se e só se rank A = rank [A  b] , (2)  não tem solução se e só se rank A < rank [A  b] , (3) tem solução única se e só se rank A = rank [A  b]  e  nul A=0 , (4) tem infinitas soluções se e só se  rank A = rank [A  b]  e  nul A > 0 .

Característica e produto de matrizes: 

(1) rank AB≤min{rank A, rank B}, 

(2) produto de uma matriz por matrizes não singulares à esquerda ou à direita não altera a característica da matriz, 

(3) para matrizes quadradas A , existência de inversa à esquerda implica que essa matriz também é inversa (à direita) de A , e existência de inversa à direita implica que essa matriz também é inversa (à esquerda) de A .