20ª Aula - Revisão: Definição de valor e vector próprio. Existência e inexistência de representação matricial diagonal de transformação linear de um espaço de dimensão finita em si próprio. Exemplo de obtenção de base para representação matricial diagonal de transformação linear. Exemplo de transformação linear que transforma circunferências com centro na origem em elipses. Definição, equações cartesianas e descrição geométrica de curvas cónicas (elispses, hipérboles, parábolas).

30 Outubro 2018, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: 
Definição de valor e vector próprio de transformação linear T:V→V : T(x)=λx , com x≠0 e λ escalar, x é vector próprio e λ é valor próprio, dizem-se associados. 
Uma transformação linear T:V→V com dim V=n finita tem representação matricial diagonal em alguma base de V se e só se existe uma base V formada por vectores próprios, i.e. se e só se existem n vectores próprios linearmente independentes. A matriz diagonal correspondente tem na diagonal os valores próprios associados aos vectores próprios da base ordenada, pela mesma ordem.

Nem sempre existem bases de vectores próprios, ou seja nem sempre existem representações matriciais diagonais. Exemplo. 

Observação: Em espaços lineares complexos há sempre representação matricial diagonal de blocos com cada bloco com desacoplamento quase total: no máximo cada componente da imagem depende da correspondente componente do domínio e da seguinte. Referência a forma canónica de Jordan e a que os elementos na diagonal principal de formas canónicas de Jordan são valores próprios e os vectores da base correspondentes ao início de cada bloco de Jordan.

Exemplo de transformação linear em ℝ2 com representação matricial diagonal e de cálculo de uma correspondente base e dos elementos na diagonal principal, ou seja de 2 vectores próprios linearmente independentes e dos valores próprios associados.

Exemplo de transformação linear em ℝ2 que transforma circunferências com centro na origem em elipses com centro na origem.

Definição e equações cartesianas standard ou canónicas (eixos de simetria conincidentes com eixos coordenados) de curvas cónicas: elipses, hipérboles e parábolas. Referência a que são secções planas de uma superfície cónica e que outras secções planas são circunferências, rectas concorrentes, uma recta, um ponto e conjunto vazio; ilustração geométrica. Referência a que as curvas cónicas têm equações cartesianas quadráticas e que o caso geraql de não terem centro na origem de coordenadas e dos eixos de simetria não serem eixos coordenados ortogonais se resolve com mudanças de coordenadas por translação e rotação e que tal será feito com Álgebra Linear mais tarde.