19ª Aula - Revisão: transformação linear definida por uma matriz. Representações matriciais de transformações lineares: exemplos e mudanças de bases. Matrizes semelhantes. Transformações lineares com representações matriciais diagonais, valores e vectores próprios.

29 outubro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão: Dada matriz A mxn com componentes em |K a função definida por T(x)=Ax , T:|Kⁿ→|K^m é uma transformação linear.

Representação matricial de transformação linear entre espaços lineares de dimensão finita em relação a bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada. Se T:V→W é uma transformação linear, dim V=n, dim W=m,  x são as componentes de um vector numa base do domínio e y as componentes da imagem desse vector por T numa base do contradomínio e A é a representação matricial (mxn) de T nessas bases, então y=Ay .

Exemplos de transformações lineares e de representações matriciais em bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada, com bases canónicas e não canónicas de ℝⁿ. 

Mudanças de bases em representações matriciais de transformações lineares. Determinação de representações matriciais diagonais (desacoplamento de variáveis, direcções invariantes). 

Matrizes semelhantes. Representações matriciais de uma mesma transformação linear de um espaço de dimensão finita em si próprio são matrizes semelhantes. 

Referência a conveniência de utilizar bases em que uma transformação linear de um espaço linear de dimensãi finita em si próprio tenha representação matricial diagonal, para desacoplamento de componentes correspondentes. Exemplo de reflexão no plano em relação a recta que passa na origem. Definição de vector e valor próprio.