Sumários

11ª Aula Prática

26 novembro 2019, 15:30 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de problemas da ficha da semana 10, parte 2.

41ª Aula Teórica

26 novembro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Construção de soluções gerais e soluções do PVI com matrizes fundamentais e matriz principal em t_0.
Relação entre matrizes fundamentais e matriz principal.

Definição da exponencial matricial como matriz principal em t_0=0, para matrizes A constantes. Exponencial matricial em t_0 não nulo. Obtenção da matriz Exp(At) pela correspondente série de potências matriciais.
Algumas propriedades da exponencial matricial.
Cálculo da exponencial de matrizes diagonais e de matrizes diagonalizáveis. Exponencial por mudança de base.

40ª Aula Teórica

25 novembro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Sistemas lineares homogéneos com matrizes não diagonalizáveis (multiplicidade geométrica de alguns valores próprios estritamente inferior à multiplicidade algébrica).

Exemplo de resolução de sistema com matriz 2x2 triangular superior, valor próprio com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1, por resolução linha a linha.

Problema de valor inicial matricial como resolução paralela de n problemas.

Matriz fundamental e sistema matricial equivalente dX/dt=A(t) X(t), com det(X(t)) não nulo. Matriz principal em t_0 e sistema equivalente dY/dt=A(t) Y(t), com Y(t_0)=I.

39ª Aula Teórica

22 novembro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Construção de bases do espaço das soluções de um sistema homogéneo, para matrizes constantes diagonalizáveis com n valores próprios reais diferentes.

Sistemas lineares homogéneos com matrizes de valores próprios complexos. Exemplo. Obtenção de soluções reais por combinação linear de soluções complexas e por separação em parte real e parte imaginária.

Exemplo de sistema com matriz triangular superior, valores próprios iguais e só um vector próprio independente. Revisão de multiplicidade algébrica e geométrica de um valor próprio.

38ª Aula Teórica

21 novembro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Introdução ao estudo dos sistemas de EDOs.

Caracterização geral dum sistema de EDOs linear. Aplicação do teorema de Picard-Lindelöf ao PVI para sistemas lineares gerais não homogéneos e intervalo máximo de definição das soluções lineares.

Propriedades algébricas das soluções dos sistemas lineares homogéneos: espaço vectorial de soluções do problema homogéneo é núcleo de transformação linear e sua dimensão=n. Isomorfismo vectorial entre dados iniciais em R^n, num instante qualquer t_0, e espaço vectorial das correspondentes soluções.

Sistemas homogéneos de equações diferenciais ordinárias, com coeficientes constantes.

Soluções do tipo e^{\lambda t} V, com \lambda valor próprio e V vector próprio da matriz do sistema.