Sumários

13ª Aula Prática

11 dezembro 2019, 14:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de problemas das fichas das semanas 11 e 12/13.

13ª Aula Prática

10 dezembro 2019, 15:30 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de problemas das fichas das semanas 11 e 12/13.

49ª Aula Teórica

10 dezembro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Séres de Fourier na forma exponencial.

Referência a séries de Fourier em espaços L^p. L^1[-L,L] como espaço mais geral, que inclui todos os L^p[-L,L], p>=1, onde é sempre possível definir coeficientes e séries de Fourier. Resumo de resultados avançados de convergência de séries de Fourier na norma L^p.

Convergência pontual de séries de Fourier e teorema de Carleson/Hunt. Teorema de convergência pontual de Dirichelet, para funções seccionalmente C^1, para a média dos limites laterais em cada ponto.

Resolução de exercícios de equações diferenciais parciais e séries de Fourier da ficha das semanas 12/13.
Exemplo de condições de fronteira de Dirichlet e Neumann.

48ª Aula Teórica

9 dezembro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Breve descrição histórica do problema da representação de funções periódicas por séries de senos e cosenos. Questões de convergência e dependência das conclusões em demonstrações logicamente rigorosas e definições precisas de muitos conceitos matemáticos. A motivação da axiomatização da análise matemática.

Determinação das fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função periódica, por analogia com a representação de vectores numa base ortogonal, em espaços euclidianos de dimensão finita. Ortogonalidade dos senos e cosenos: produto interno entre duas funções periódicas e coeficientes de Fourier como projecções duma função numa base ortogonal de dimensão infinita.

Referência a espaços de Hilbert e ao espaço L^2 das funções de quadrado integrável à Lebesgue, onde o produto interno de funções está bem definido. Convergência de séries de Fourier em L^2.

Teorema de convergência pontual de séries de Fourier, para funções seccionalmente C1.

Séries de Fourier de funções pares e ímpares.

47ª Aula Teórica

6 dezembro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução do problema de valores e funções próprias X''-\lambda X=0, com condições de fronteira homogéneas X(0)=X(L)=0.

Analogia multi-dimensional, com os valores próprios e funções próprias do Laplaciano.

Acerto da condição inicial da equação do calor como combinação linear (finita) de senos. Motivação para a série de Fourier de senos, como "combinação linear infinita" que possa representar funções arbitrárias.