Sumários

5ª Aula Prática

16 outubro 2019, 14:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de problemas da ficha da semana 4.

5ª Aula Prática

15 outubro 2019, 15:30 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de problemas da ficha da semana 4.

18ª Aula Teórica

15 outubro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Teorema de Cauchy.
Demonstração para funções C^1 e curvas de Jordan (simples e fechadas), através do recurso ao teorema de Green. Referência à necessidade técnica de usar o avançado teorema da curva de Jordan, para rigorosamente se poder falar do interior e do exterior da curva.

Primeira análise das consequências e aplicações. Teorema da deformação em versão intuitiva.

Definição de conjunto simplesmente conexo através de curvas de Jordan. Teorema de Cauchy para domínios simplesmente conexos. Corolário: existência de primitiva de funções holomorfas em domínios simplesmente conexos.


Definição de caminhos homotópicos fechados, ou abertos de extremos fixos.
Descrição breve da demonstração do teorema de Cauchy-Goursat.

17ª Aula Teórica

14 outubro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Analogia do teorema fundamental do cálculo complexo com integrais de campos conservativos em R^2.
Análise das consequências do teorema fundamental do cálculo.
Exemplos: as funções 1/z e 1/z^2, e seus integrais em torno da origem à luz do teorema fundamental do cálculo.

Conjuntos conexos. Funções contínuas transformam conjuntos conexos em conjuntos conexos.
Conjuntos conexos por arcos. Conexo por arcos é conexo, mas há conexos que não são conexos por arcos. Exemplo: o gráfico da função sen (1/x) com x em ]0,1], como subconjunto de R^2, reunido com o segmento de recta no eixo dos yy entre -1 e 1.
Abertos e conexos são conexos por arcos.

Teorema da independência do caminho: para funções contínuas em domínios abertos e conexos: equivalência entre existência de primitiva, integrais nulos ao longo de qualquer curva fechada e integrais em curvas abertas só dependerem dos pontos extremos.

16ª Aula Teórica

11 outubro 2019, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Propriedades elementares do integral complexo: linearidade, mudança de sentido e concatenação.
Invariância do integral sob reparametrização de curvas.
Majoração do valor absoluto de um integral complexo. Exemplo.

Teorema Fundamental do Cálculo.