6ª Aula - Revisão: Factorização triangular de matrizes. Inversas de matrizes quadradas: definição e propriedades gerais. Eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan para inversão de matrizes.

27 Setembro 2018, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: (1) Factorização triangular de qualquer matriz A , PA=LU. Pode-se obter uma destas factorizações por eliminação de Gauss, P é obtidas das trocas de linhas, U é a matriz em escada de linhas no final da eliminação de Gauss e L é a matriz triangular inferir com 1s na diagonal principal que na componente ij (i>j) tem o nº por que foi multiplicada a linha j para subtrair à linha i.(2) Factorização triangula de matrizes regulares: A=LDU. É única. Neste caso U é traingular superior com 1s na diagonal principal e D é a matriz diagonal com os pivots na diagonal principal.Observação: O processo de eliminação de Gauss corresponde a factorização triangular.

Inversas de matrizes quadradas: definição, unicidade, matrizes não singulares.

Exemplos de cálculo de inversas de matrizes de permutação, elementares, diagonais e triangulares (uma matriz triangular tem inversa se e só se os elementos na diagonal principal são ≠0 ).

Produtos finitos de matrizes com inversas A1...AN têm inversas (A1...AN)-1=AN-1...A1-1.

A inversa de uma matriz não singular tem inversa e (A-1)-1=A .

A transposta de uma matriz não singular tem inversa (At)-1=(A-1).

Uma matriz nxn A tem inversa se e só se cada sistema de equações lineares A x=b tem solução única para cada b nx1; a solução é x=A-1.

Uma matriz nxn tem inversa se e só se eliminação de Gauss dá n pivots; A-1 é a solução X de AX=I.

Exemplos de determinação se uma matriz tem inversa por eliminação de Gauss.

Cálculo de inversas de matrizes por eliminação de Gauss e por eliminação de Gauss-Jordan. Exemplo.