7ª Aula - Revisão: Definição de inversa de matriz, invertibilidade e cálculo de inversas de matrizes. Continuação de inversão de matrizes por blocos. Matrizes com diagonal dominante e condição suficiente para invertibilidade de matriz. Invertibilidade, cálculo directo de inversas de matrizes 2x2, determinante e regra de Cramer para obter a solução de sistema de 2 equaç~ºoes com duas incógnitas com solução única. Multiplicação de matrizes por blocos e não singularidade e inversão de matrizes por blocos. Condição necessária e suficiente para matriz ser regular em termos de submatrizes. Referência à grande eficiência computacional da eliminação de Gauss.

1 Outubro 2018, 12:00 Luis Magalhães

Revisão: Definição de matriz invertível ou não singular e de inversa de matriz quadrada. Unicidade de inversa, determinação de invertibilidade e, em caso afirmativo da inversa de uma matriz por eliminação de Gauss e por eliminação de Gauss-Jordan.

Definição: Matrizes com diagonal (estritamente) dominante (por linhas, por colunas, por linhas ou colunas).

Teorema (condição suficiente para existência de inversa): Se uma matriz quadrada tem diagonal estritamente dominante é não singular. Exemplos de aplicação (directa e indirecta).

Não singularidade e inversão de matrizes 2x2: condição geral de invertibilidade  (produto das componentes na diagonal principal menos o das componentes fora da diagonal principal diferentes de 0, a que se chama determinante da matriz da matriz 2x2) e cálculo geral da inversa (recíproco do determinante multiplicado pela matriz obtida trocando as componentes na diagonal principal e mudando de sinal as outras componentes).

Resolução de sistemas lienares de 2 equações com 2 incógnitas com solução única pela regra de Cramer: a incógnita i é o quociente do detrminante da matriz que se obtém da matriz dos coeficientes substituindo a coluna i pelo termo independente pelo determinante da matriz dos coeficientes.

Produto de matrizes por blocos.

Inversão de matrizes com 4 blocos de matrizes quadradas (desde que um bloco na diagonal principal de blocos tenha inversa assim como outra matriz obtida por operações adequadas dos 4 blocos e da inversa do bloco na diagonal principal de blocos referido).

Condição necessária e suficiente para matriz nxn ser regular: as n submatrizes kxk com elementos das 1ªs k linhas e colunas têm inversa.