11ª Aula prática

4 dezembro 2017, 15:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre ortogonalidade, suas aplicações geométricas e soluções de quadrados mínimos.

11ª Aula prática

4 dezembro 2017, 13:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre ortogonalidade, suas aplicações geométricas e soluções de quadrados mínimos.

32ª Aula - Revisão: Caraterização de produtos internos em espaços de dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas, Propriedades fundamentais e descrição geométrica do produto externo em ℝ3.  Paralelepípedo-p em Rn. Determinantes: definição axiomática com base em propriedades de volumes de paralelepípedos-n de modo ao poderem ser obtidos pelo valor absoluto do determinante das arestas,  propriedades básicasgerais, fórmula para em termos de permutações, existência e unicidade. cálculo com eliminação de Gauss, determinante e não singularidade de matriz.

4 dezembro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão:
(I) Caraterização de produtos internos em espaços de dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas. ℝⁿ ou em ℂⁿ dá que todos produtos internos são <x,y>=y*Gx , em que G é uma matriz hermitiana (G*=G) definida positiva (x*Gx>0 se x≠0). (G hermitiana é definida positiva sse eliminação de Gauss pode ser feita sem troca de linhas e dá n pivots >0). G é a matriz de Gram da base do espaço considerada (no caso de ℝⁿ ou em ℂⁿ referido da base canónica)  no produto interno respectivo.
(II) Propriedades fundamentais do produto externo em ℝ³:
(1) Antisimetria: xxy = - yxx ; 
(2) Bilinearidade: linearidade em cada parcela com a outra fixa;  
(3) xxy ⊥ x, y , no produto interno canónico; 
(4) Igualdade do quadrado da norma à diferença dos quadrados dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz com o produto interno canónico: ||xxy||²=||x||2||y||²- |x·y|² .
Observação: (4) é equivalente a (a)  ||xxy||=||x|| ||y|| sin θ , em que θ é o ângulo entre x e y se x,y≠0 e é arbitrário se x=0 ou y=0 , e também é equivalente a (b) ||xxy|| é a área do paralelogramo que tem arestas x,y .
Descrição geométrica do produto externo: o produto externo de dois vectores de ℝ3 linearmente independentes é o vector ortogonal ao plano gerado pelos vectores com norma igual à área do paralelogramo definido pelos vectores e sentido para de onde se vê o 1º vector deslocar-se para o 2º no sentido antihorário (em particular, e₁ x e₂ = e₃ ).

Proposição: O produto externo de dois vectores é ≠0 se e só se os vectores são linearmente independentes.

Propriedades básicas do produto externo de vectores linearmente independentes: Se x,y∈ℝ³:
(1) x,y, xxy lsão inearmente independentes, logo uma base de R ³; 
(2) Se n⊥x, y, então n e xxy são colineares. 

Observação: É possível definir um produto externo binário em  ℝⁿ com as 4 propriedades fundamentais se e só se n=3 ou 7. É um resultado algébrico devido às propriedades imlicarem que o produto de a somas de m=n-1 quadrados de nºs reais é igual a uma soma de quadrados de nºs reais. Foi provado por Hurwitiz em 1898 que tal é possível sse m=1,2,4,ou 8 (Teorema 1, 2, 4, 8 de Hurwitz). (Há uma prova com Álgebra Linear disponível num texto de leitura acessória para quem tenha interesse na página da disciplina no Fénix).

Determinante: Motivação com a ideia de se pretender que o valor absoluto do determinante de n vectores em ℝⁿ dê o volume-n do paralelepípedo-n com esses vectores como arestas, definição de paralelepípedo-p em ℝⁿ (p=1, ..., n) e ilustração geométrica do sentido de volume-n. Definição de determinante: Função de (|Kⁿ)ⁿ em |K (=ℝ ou ℂ) que satisfaz as condições: 
(1) Multilinearidade (linearidade em cada argumento com os outros fixos), 
(2) Anulação (quando dois argumentos são iguais), 
(3) Normalização (=1 quando os argumentos são a base canónica de ℝⁿ).

Propriedades básicas gerais do determinante:
(a) =0 se um argumento =0;
(b) muda de sinal com troca de um par dos argumentos;
(c) determinante de n vectores linearmente dependentes em ℝⁿ ou ℂⁿ é 0. 

Definição de determinante de matriz quadrada como sendo o determinante do múltiplo ordenado das linhas da matriz.

Exemplos de cálculo de determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 directamente a partir da definição. 

Fórmula para determinantes com permutações. 

Proposição: O determinante existe e é único. (Dem.: As condições da definição implicam a validade da forma com permutações. A função definida por esta fórmula satisfaz as condições da definição de determinante).

O determinante de matrizes quadradas permanece invariante subtraindo a qualquer linha uma outra multiplicada por uma escalar.

Cálculo de determinantes de matrizes A nxn por eliminação de Gauss: 
(1) se há menos de n pivots, det A=0; 
(2) se há n pivots, det A=+ ou - (produto dos pivots) conforme o nº de trocas de linhas na eliminação de Gauss é par ou ímpar.

Se A é matriz quadrada, det A≠0 se e só se A é não singular (det A=0 se e só se A é singular).

Observação: Para matrizes genéricas eliminação de Gauss é em geral muito mais eficiente (O(n³/3)) para cálculo de determinantes do que pela fórmula com permutações (O(nn!)). A fórmula com permutações tem a vantagem de dar uma fórmula explícita em termos das componentes (já usada para provar existência e unicidade do determinante) e pode ser mais eficiente para cálculo determinantes de certas matrizes com várias componentes nulas.

11ª Aula prática

30 novembro 2017, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre ortogonalidade, suas aplicações geométricas e soluções de quadrados mínimos.

31ª Aula - Revisão de propriedades de complementos ortogonais de subespaços lineares de espaços euclidianos. Matrizes de Gramm. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas e semidefinidas (positivas e negativas), indefinidas. Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas. Determinação se matriz é de um dos tipos considerados por eliminação de Gauss e pivots. Produto externo em ℝ3.

30 novembro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Se V é espaço euclidiano e S é subespaço linear de V, então: (1) S⊂S^⊥⊥. (2) V=S⊕S^⊥⇒ S^⊥⊥=S . (3) dim S∈ℕ ou dim S^⊥∈ℕ ⇒ V=S⊕S^⊥ e S^⊥⊥=S . (4) Se dim S∉ℕ e dim S^⊥∉ℕ , então pode ser V≠S⊕S^⊥ e S^⊥⊥≠S .

Proposição: Se V é espaço euclidiano e S é subespaço linear de V, então S^⊥⊥⊥=S^⊥ . (Dem.: De (1) S^⊥⊂S^⊥⊥⊥. x∈S^⊥⊥⊥⇒ x⊥S^⊥⊥ (c/ (1)) ⇒ x⊥S ⇒ x∈S^⊥; logo, S^⊥⊥⊥⊂S .)

Matrizes de Gram de múltiplo ordenado de vectores de espaço euclidiano. 

Matrizes simétricas, hermitianas, definidas positivas (resp., negativas), semidefinidas positivas (resp. negativas), indefinidas. 

Proposição: Matrizes de Gram são simétricas para espaços euclidianos reais (resp., hermitianas para espaços lineares complexos) e são definidas positivas.

Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita: são da forma <x,y>=Y*GX , com G matriz hermitiana (i.e. G=G*) definida positiva (i.e. Z*GZ>0 para todas matrizes coluna Z≠0 ), em que X,Y são as matrizes coluna com as componentes de, resp., x,y numa base ordenada do espaço; G é a matriz de Gram dos vectores da base.

Proposição: Uma matriz hermitiana é definida positiva se e só se é regular e a eliminação de Gauss dá pivots >0 em todas as linhas (e colunas). (Dem.: Factorização triangular obtida com eliminação de Gauss e resp. unicidade). 

Resultados análogos para matrizes definidas negativas (pivots <0 em todas as linhas e colunas), semidefinidas positivas (pivots >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), semidefinidas negativas (pivots <0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), e indefinidas (pivots <0 e >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas).

Definição de produto externo em ℝ³: xxy=(x₂y₃-x₃y₂, x₃y₁-x₁y₃, x₁y₂-x₂y₁) , com x=(x₁,x₂,x₃) e y=(y₁,y₂,y₃) .

Propriedades fundamentais do produto externo: 
(1) Antisimetria: xxy = - yxx ; 
(2) Bilinearidade: linearidade em cada parcela com a outra fixa;  
(3) xxy ⊥ x, y , no produto interno canónico; 
(4) Igualdade do quadrado da norma à diferença dos quadrados dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz com o produto interno canónico: ||xxy||²=||x||²||y||²- |x·y|² .

Observação: (4) é equivalente a (a)  ||xxy||=||x|| ||y|| sin θ , em que θ é o ângulo entre x e y se x,y≠0 e é arbitrário se x=0 ou y=0 , e também é equivalente a (b) ||xxy|| é a área do paralelogramo que tem arestas x,y .

Descrição geométrica do produto externo: o produto externo de dois vectores de ℝ³ linearmente independentes é o vector ortogonal ao plano gerado pelos vectores com norma igual à área do paralelogramo definido pelos vectores e sentido para de onde se vê o 1º vector deslocar-se para o 2º no sentido antihorário (em particular, e₁ x e₂ = e₃ ).