Sumários
6ª Aula prática
25 outubro 2017, 12:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e espaços lineares reais envolvendo números complexos; e sobre mudanças de base.
6ª Aula prática
25 outubro 2017, 11:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e espaços lineares reais envolvendo números complexos; e sobre mudanças de base.
17ª Aula - Revisão da dimensão de ℂn como espaço linear real ou complexo. Dimensão de ℂS como espaço linear real ou complexo. Observação sobre conjuntos de escalares possíveis de espaços lineares: corpos; exemplos de corpos e corpo com dois elementos. Mudança de base ordenada em espaço linear de dimensão finita; matriz de mudança de base. Prova de que há conjuntos com cardinalidade arbitrariamente grande (notas históricas). Os 11 resultados mais importantes obtidos até agora e papel central da Eliminação de Gauss e do Princípio da Sobreposição. Notas históricas sobre antecedentes, criação e consolidação das noções de espaço linear e vector.
24 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão: Se n∈ℕ , V=ℂn é espaço linear real e W=ℂn é espaço linear complexo, dim V = 2 dim W.
Se S≠∅ , V=ℂS é espaço linear real e W=ℂS é espaço linear complexo, dim V = dim W . Exemplo: C ℕ (espaço das sucessões de nºs complexos).
Observação: Outros escalares possíveis em espaços lineares são de corpos; corpos infinitos: ℚ, ℝ, ℂ ; além destes há outros corpos finitos e infinitos, mas ℂ é o único corpo que contém ℝ e é espaço linear real de dimensão finita. Referência a corpos finitos: exemplo de {0,1} com soma e produto comutativos com 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0, e 0.0=0, 0.1=0 , 1.1=1, e a aplicações em electrónica, telecomunicações e computação. um corpo finitos com n elementos chama-se corpo de Galois e designa-se GF(n) . Pode-se provar que existe um tal corpo com n≥2 se e só se n=pk, com p primo e k∈ℕ .
Mudança de base ordenada em espaços lineares de dimensão finita com corpo de escalareas |K (ℝ ou ℂ). Se a matriz de mudança de base S e as ooordenadas na 1ª e 2ª base são, resp., x, y∈|Kn, y=S-1x . Diz-se que as coordenadas de vectores se transformam contravariantemente.
Exemplo:Mudança de base ordenada em ℝ3 por permutação dos elementos da base canónica.
Revisão: Se A é finito e #A=n, então #P(A)=2n>n=#A .
Para todos os conjuntos A é #P(A)>#A (prova por argumento diagonal de Cantor abstracto). Há conjuntos com cardinalidade arbitrariamente grande (implicações para dimensão de espaços lineares).
Referência à Hipótese do continuum e a que foi provado (Gödel, 1940) que no quadro da axiomática usual de conjuntos (Zermelo-Frankel-Axioma da Escolha (ZFE)) não pode ser provada falsa, e também (Cohen, 1963) não pode ser provada verdadeira (Paul Cohen recebeu a Medalha Fields em 1966 por isso).
Referência aos 11 resultados mais importantes obtidos nas aulas até hoje:
1. Sistemas Ax=b têm 0, 1 ou ∞ soluções.
2. Sobreposição nas soluções de Ax=b.
3. Matrizes têm factorização A=PLU.
4. Ax=b tem solução única com A nxn ⇔ inversa de A existe ⇔ A tem n pivots.
5. Subconjunto S de espaço linear é subespaço linear ⇔ S≠∅ e verifica fecho da adição e da multiplicação por escalares.
6. dim R(At) = dim R(A) .
7. Para matrizes A mxn, rank A + nul A = n .
8. Teorema da Dimensão (provado p/ dimensão finita).
9. rank AB ≤ min{rank A, rank B} .
10. Para matrizes reais rank AtA = rank A = rank At .
11. Existem conjuntos de cardinalidade arbitrariamente grande.
(7 provados com base em ELIMINAÇÃO DE GAUSS, 2 com base no Princípio da Sobreposição, outro de Álgebra Linear com base em ELIMINAÇÃO DE GAUSS e em soma de quadrados de nºs reais >0 se um for >0 , e o último não é de Álgebra Linear. .
Notas históricas: antecedentes da noção de espaço linear (mecânica, coordenadas cartesianas, equações diferenciais, plano complexo, segmentos orientados, teoria da extensão, quaterniões, álgebra de vectores, independência linear, base, dimensão (Grassman 1844), análise vectorial em electromagnetismo (Gibbs 1881, Heaviside 1893); criação e consolidação da noção de espaço linear: propriedades fundamentais (Grassman 1862), axiomática para espaço linear segundo Grassman (Peano 1888), ampla aceitação da axiomática só com publicação de Théorie des opérateurs linéaires (Banach 1932); designações: "vector" e "escalar" (Hamilton para octoniões 1846), "espaço linear" (Pincherle 1901), "álgebra linear" (Weyl 1918); 1º trabalho em dim>3 (Cayley 1846), nulidade (Sylvester 1884), existência de bases para espaços lineares gerais (Hausdorff 1932), bases de um espaço linear têm a mesma cardinalidade (Lowig 1934), noção de matróide abstractizando independência linear para conjuntos (Whitney 1935). Em resumo, podem-se distinguir 4 períodos da noção de vector, cada um dos 3 primeiros de cerca de 45 anos, e o último com 85 anos até hoje, designadamente:
(1) 1799-1843, "vectores" no plano de dim=2 (nºs complexos e segmentos orientados);
(2) 1843-1881/93," vectores" no espaço de dim=3 (quaterniões);
(3) 1881/93-1932, vectores no espaço de dim=3 com álgebra e análise vectorial, separando as componentes vectoriais da componente escalar;
(4) 1932- , espaço linear, levou ap. 1 século da ideia inicial até se generalizar, mas depois expandiu-se muito rapidamente.
16ª Aula - Revisão de representação polar de nºs complexos, multiplicação gráfica de nºs complexos, propriedades básicas que se pretendem para a função exponencial complexa e consequências. Definição de exponencial complexa. Fórmula de Euler, contradomínio da exponencial complexa, logaritmos complexos, representação gráfica da exponencial complexa. Aplicação da exponencial complexa para obter soluções da equações diferencial ordinária escalar de 2ª ordem com coeficientes constantes e exemplos da física/mecânica e de circuitos eléctricos. Exemplos de espaços lineares reais e complexos definidos com nºs complexos e resp. dimensões.
23 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão: Representação polar de nºs complexos, multiplicação gráfica de nºs complexos, propriedades básicas que se pretendem para a função exponencial complexa e consequências, em particular, se fi(y)=eiy, então fi''(y)+fi(y)=0 , e se f(y)=(u(y),v(y)) , u''+u=0 e v''+v=0 .
Portanto, u(y)=c1cos(y)+c2sin( y) e v(y)=k1cos(y)+k2sin( y) e, como fi(0)=1 e fi'(0)=i , é u(y)=cos y, v(y)=sin y.
Definição chama-se exponencial complexa à função f:ℂ→ℂ tal que f(x+iy)=ex+iy=exeiy=[ex(cos(y) + i sin(y)] para x,y∈ℝ .
Observação: cos(y) + i sin(y)=eiy, y∈ℝ .
Observação: 1=ei2π (equação de Euler) relaciona entre si 5 nºs introduzidos em contextos diferentes: o 1º natural (e identidade da multiplicação de reais), base dos logaritmos naturais, unidade imaginária, o 2º nº natural (soma da identidade consigo própria), área do círculo de raio 1.
O contradomínio da exponencial complexa é ℂ\{0} . Pode-se definir w=ln z para z≠0 complexo se ew=z (existem infinitos, com argumentos definidos a menos de soma de múltiplo inteiro de 2π). Em ℝ cada nº positivo tem um único logaritmo natural, mas nºs negativos não têm. Em ℂ todos os nºs ≠0 têm um conjunto numerável de logaritmos e os nºs reais negativos têm logaritmos complexos com partes imaginárias ≠0 .
Representação gráfica da exponencial complexa: gráficos da parte real e da parte imaginária.
Aplicação da exponencial complexa a equações diferenciais ay''+by'+cy=0 , com a,b,c∈ℝ constantes fixas (modelo de massa-mola com atrito com força da mola linear no desvio da posição de equilíbrio e atrito linear na velocidade e em sentido oposto, modelo de suspensão mecânica com amortecedor linear, modelo de circuito electrico de resistência, condensador e bobina). Equação característica az2+bz+c=0 . Soluções de sistema sobre e sub amortecido. Referência a sistema criticamente amortecido.
Exemplos de espaços lineares com nºs complexos como espaços lineares reais e como espaços lineares complexos: ℂ, ℂn (espaço das n-plas com componentes complexas), ℂmxn: como espaço linear complexo dimensão, resp., 1, n, mn; como espaço linear real o dobro.
5ª Aula prática
20 outubro 2017, 09:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios sobre números complexos.