3ª Aula prática

9 outubro 2017, 13:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares, inversão de matrizes e subespaços lineares.

10ª Aula - Continuação de exemplos de vectores/conjuntos linearmente independentes e linearmente dependentes. Propriedades gerais de independência linear. Base e dimensão de espaço linear: definição, propriedades e exemplos. Teorema da Dimensão (prova no caso de dimensão finita) . Exemplos de espaços lineares de dimensão finita e de dimensão infinita

9 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Continuação de exemplos de vectores/conjuntos linearmente independentes e linearmente dependentes.

Propriedades gerais de independência linear: vectores que incluam o vector 0 são linearmente dependentes; vectores que incluam um par de vectores iguais são linearmente dependentes; se alguns dos vectores considerados são linearmente dependentes, todos são linearmente dependentes; se os vectores considerados são linearmente independentes, quaisquer deles são linearmente independentes; quaisquer vectores são linearmente dependentes se e só se pelo menos um deles é combinação linear dos outros.

As colunas de uma matriz A com componentes escalares são linearmente independentes se e só se o sistema de equações lineares Ax=0 tem solução única. Quaisquer n>m vectores de ℝ^m são linearmente dependentes.

Base e dimensão de espaço linear: definição; existência e unicidade de representação de qualquer vector do espaço como combinação linear de uma base; definição de componentes ou coordenadas de vectores de um espaço numa base do espaço; bases ordenadas como sistemas de coordenadas ou sistemas de referência.

Teorema da dimensão: Todo espaço linear V≠{0} tem bases, todas com a mesma cardinalidade, chamada dimensão de V, designada dim V. (dada a prova para caso de dimensão finita).

Exemplos de espaços lineares de dimensão finita e infinita.

9ª Aula - Revisão do Teorema Fundamental da Álgebra e de instersecção de subespaços lineares de um espaço linear. Definição geral de produto cartesiano de conjuntos e produto cartesiano de espaços lineares reais. União e soma de espaços lineares: propriedades e exemplos. Combinação linear de vectores. Expansão linear de subconjunto de espaço linear; exemplos. Vectores/conjuntos linearmente independentes; exemplos.

9 outubro 2017, 09:00 • Luis Magalhães

(Aula de substituição da aula correspondente ao feriado de 5.OUT)

Revisão: Teorema Fundamental da Álgebra e factorização de polinómios complexos não constantes em produtos de potências inteiras de factores lineares.Continuação de exemplos de intersecção de subespaços lineares.

Definição: Produto cartesiano de conjuntos U_a, a∈A : conjunto das funções definidas em A tal que  f(a)∈U_a

Produtos cartesianos de espaços lineares reais com as operações definidas componente a componente são espaços lineares reais: prova e exemplos.

Uniões de subespaços lineares de um espaço linear podem não ser um espaço linear. 

Definição: Soma de subconjuntos de espaço linear.

A soma de subespaços lineares de um espaço linear é espaço linear e é o menor subespaço linear do espaço linear considerado que contém a união dos subespaços lineares. 

A união de dois subespaços lineares de um espaço linear é um espaço linear se e só se um deles está contido no outro.

Combinações lineares de vectores de espaço linear: definição e exemplos. 

Se A é matriz mxn real, Ax é combinação linear das colunas de A com coeficientes das  colunas que são as componentes de x pela mesma ordem.

Expansão linear L(S) de ou espaço gerado por subconjunto S≠∅ de espaço linear V: definição de expansão linear de ∅ como L(∅)={0}. L(S) é um espaço linear; é o menor subespaço linear de V que contém S. 

Exemplos de expansão linear de conjuntos: ℝ² é gerado por dois (ou mais, possivelmente infinitos com cardinalidade numerável ou não) vectores não colineares; uma recta em ℝ² que passa em 0 é gerada por um (ou mais) vectores ≠∅ ; o espaço linear dos polinómios reais de grau ≤n∈ℕ fixo pode ser gerado por n+1 (ou mais) polinómios (apropriados); o espaço linear de todos os polinómios reais pode ser gerado por um conjunto infinito numerável de polinómios (apropriados); o conjunto dos termos independentes b∈ℝ^m tais que existe pelo menos uma solução do sistema de equações lineares Ax=b , em que A é matriz mxn real, é o subespaço linear de ℝ^m gerado pelas colunas de A , a que se chama espaço das colunas de A , designado R(A) ; o sistema tem solução se e só se b∈R(A) . Chama-se espaço das linhas de A ao espaço linear gerado pelas linhas de A .

Vectores/conjuntos linearmente independentes e vectores/conjuntos linearmente dependentes: definição, exemplos de determinação se vectores dados são linearmente independentes ou dependentes (vectores em ℝⁿ e aplicação da resolução de sistemas de equações lineares).

3ª Aula prática

6 outubro 2017, 09:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares, inversão de matrizes e subespaços lineares.

3ª Aula prática

6 outubro 2017, 08:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares, inversão de matrizes e subespaços lineares.