19ª Aula - Revisão de representação matricial de transformação linear entre espaços de dimensão finita em bases ordenadas fixas no domínio e no espaço de chegada. Exemplos de determinação de representações matriciais de transformações lineares. Mudança de bases. Matrizes semelhantes. Transformações lineares com representações matriciais diagornais. Transformaçºões lineares que transformam circunferências em elipses. Definição de elipse e equação cartesiana de elipses centradas na origem e simétricas em relação a eixos coordenados ortogonais

30 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão de aula anterior: Representação matricial de transformação linear entre espaços de dimensão finita em bases ordenadas fixas no domínio e no espaço de chegada. A matriz tem as imagens dos vectores da base do domínio em colunas, nas componentes em relação à base do espaço de chegada. Matrizes representam transformações lineares em relação a um par de bases ordenadas fixas (do domínio e espaço de chegada) como coordenadas/componentes representam vectores em relação a uma base ordenada.

Exemplos de transformações lineares e de representações matriciais em bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada, com bases canónicas e não canónicas de ℝⁿ. 

Mudanças de bases em representações matriciais de transformações lineares entre espaços de dimensão finita.

Determinação de representações matriciais diagonais (desacoplamento de variáveis, direcções invariantes). Matrizes semelhantes. Representações matriciais de uma mesma transformação linear de um espaço de dimensão finita em si próprio são matrizes semelhantes; referência a que nem todas estas transformações lineares têm representação matricial diagonal.

Reflexões no plano em relação a recta que passa na origem. Deformações do espaço por transformações lineares que expandem em grandeza diferente em direcções de vectores linearmente independentes. Transformação de circunferências em elipses.

Descrição geométrica de elipse como lugares geométricodos pontos de um plano com soma de distâncias a dois pontos fixos (os focos) constante (o comprimento do eixo maior, que passa nos focos). Equações cartesianas de elipses centradas na origem e simétricas em relação a eixos coordenados ortogonais. 

6ª Aula prática

27 outubro 2017, 09:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e espaços lineares reais envolvendo números complexos; e sobre mudanças de base.

6ª Aula prática

27 outubro 2017, 08:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e espaços lineares reais envolvendo números complexos; e sobre mudanças de base.

6ª Aula prática

26 outubro 2017, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e espaços lineares reais envolvendo números complexos; e sobre mudanças de base.

18ª Aula - Transformações lineares: definição, exemplos, representações matriciais em relação a bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada.

26 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Definição de transformação linear (princípio de sobreposição): Função T:V→W, em que V, W são espaços lineares com escalares no meso corpo |K, tal que: (1) T(u+v)=T(u)+T(v) , (2) T(cu)=cT(u) para u,v∈V, c∈|K . Se W=V diz-se que T é uma transformação linear em V .

Proposição: Uma função entre espaços lineares com os mesmos escalares é uma transformação linear se e só se imagens de combinações lineares de vectores são as combinações lineares das imagens dos vectores com os mesmos coeficientes. 

Exemplos: Transformação linear multiplicação por um escalar (inclui transformação zero, e transformação identidade de um espaço linear V num espaço linear W⊃V , definida por T(x)=x para x∈V e designada 1_V ), transformação linear de ℝⁿ em ℝ^m definida por matriz mxn A por T(x)=Ax , fórmula geral em termos de componentes para transformações lineares de ℝ² em ℝ², transformações lineares de ℂ em ℂ , fórmula geral das transformações lineares em termos de componentes para transformações lineares do espaço linear real dos nºs complexos em si próprio.

Transformação linear definida no espaço linear S das sucessões de termos reais com limite por T({u_n})=lim u_n , transformação linear derivação no subespaço das funções reais diferenciáveis num intervalo I⊂ℝ no espaço ℝ^I das funções de I em ℝ .

Representação matricial de transformação linear entre espaços lineares de dimensão finita em relação a bases ordenadas do domínio e do espaço de chegada. Se T:V→W é uma transformação linear, dim V=n, dim W=m,  x são as componentes de um vector numa base do domínio e y as componentes da imagem desse vector por T numa base do contradomínio e A é a representação matricial (mxn) de T nessas bases, então y=Ay.

Proposição: Uma matriz real 2x2 é representação matricial de uma transformação linear T:ℂ→ℂ na base canónica de ℝ², identificando cada elemento (x,y)∈ℝ² com z=x+iy∈ℂ , se e só se as componentes na diagonal principal são iguais e as outras componentes são simétricas.

Observação: Assim como uma base de um espaço linear é um sistema de referência para o espaço que permite representar univocamente cada vector pelas coordenadas na base, que em dimensão finita n são uma n-pla ordenada de escalares, fixado um par de bases ordenadas em espaços lineares de dimensão finita com os mesmos escalares V, W, cada transformação linear de V em W é representada univocamente por uma matriz A mxn, em que n=dim V, m=dim W. As matrizes mxn desempenham para estas transformações lineares, em relação a um par ordenado de bases de V e W, o papel que para vectores de um espaço linear de dimensão finita é desempenhado pelas coordenadas numa base ordenada do espaço.