3ª Aula prática

4 outubro 2017, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares, inversão de matrizes e subespaços lineares.

3ª Aula prática

4 outubro 2017, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares, inversão de matrizes e subespaços lineares.

8ª Aula - Revisão da noção de subespaço linear e identificação de espaços lineares. Exemplos espaços e de subespaços lineares. Intersecções de espaços lineares.

3 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Subespaços lineares de espaços lineares: definição; qualquer espaço linear tem subespaços {0} e V, se existem subespaços diferentes contêm o 1º e estão contidos no 2º; um subconjunto S de um espaço linear V é um subespaço linear de V se e só se é ≠∅ e satisfaz as propriedades de fecho da adição e da multiplicação por escalares.

(1)   matrizes triangulares; sucessões de Fibonacci;
(2)   polinómios reais de grau ≤n ;
(3)   todos os polinómios reais;
(4)   C^k(I,ℝ) conjunto das funções de intervalo I⊂ℝ em ℝ com derivada de ordem k contínua em I (k∈ℕ) ;
(5)   C⁰(I,ℝ) conjunto das funções contínuas de I em ℝ ;
(6)   C^∞(I,ℝ) conjunto das funções indefinidamente diferenciáveis de I em ℝ 
( C^∞(I,ℝ) ⫋ ⋯ ⫋ C^k+1(I,ℝ) ⫋ C^k(I,ℝ) ⫋ ⋯ ⫋ C⁰(I,ℝ) ) ;
(8)   espaço nulo ou núcleo de matriz mxn A  (conjunto das soluções da equação homogénea Ax=0, N(A)={x∈ℝⁿ: Ax=0 }) ;
(9)   espaço dos termos independentes de sistemas de equações lineares com matriz de coeficientes  mxn A fixa (R(A)={b∈ℝ^m: ∃x∈ℝ^m: Ax=b}).

Proposição: Intersecções (numeráveis ou não) de subespaços lineares de um mesmo espaço linear V são subespaços lineares de V.

Exemplos.

7ª Aula – Eficiência computacional da eliminação de Gauss e sucessiva melhoria; multiplicação rápida de matrizes (método de Strassen e seguintes). Notas históricas sobre sistemas de equações lineares, eliminação de Gauss e matrizes. Espaços lineares e subespaços lineares. Exemplos de subespaços lineares e de subconjuntos de espaço lineares que não são subespaços lineares.

2 outubro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Eficiência computacional do método de eliminação de Gauss.

Escreve-se f(x)=O(g(x)) quando x→+∞ se existe C>0 tal que |f(x)|≤C|g(x)| para x suficientemente grande.

Ordem assimptótica do nº de multiplicações e de adições de nºs reais com matrizes genéricas nxn: multiplicação directa de matrizes n³ resolução de sistemas de equações n³/3+O(n²) ; inversão de matriz n³+O(n²) . Referência a escolha de pivots e a escalamento de linhas ou colunas para maior precisão quando há pivots muito pequenos, considerados em Análise Numérica.

Multiplicação rápida de matrizes (logo, também resolução de sistemas de equações lineares e inversão de matrizes) do tipo de Método de Strassen (1969): ordem assimptótica de nº de operações de nºs reais para matrizes nxn genéricas n^2,807=n^log₂7. Melhorias sucessivas em 1978-1987, 2010, 2011 e 2014 (n^2,3728639, F. Le Gall).

Notas históricas sobre sistemas de equações lineares, eliminação de Gauss e matrizes.

 Motivação para definição de espaços lineares.Espaço linear (ou vectorial) real: ideia de espaço para formular Princípio de Sobreposição; definição; propriedades 0v=0 e (-1)v=-v para todo vector v.

Exemplos de espaços lineares com operações usuais: ℝⁿ (n nº natural), ℝ^mxn (m,n nºs naturais) conjunto das matrizes mxn com componentes reais, ℝ^ℕ (ℕ conjunto dos nºs naturais) conjunto das sucessões de nºs reais; ℝ^S (S conjunto ≠∅), conjunto das funções com valores reais definidas em S ; exemplos de subconjuntos de ℝ que não são espaços lineares: ℝ⁺ (não contém 0 ), ℝ⁺U{0}  (não contém simétricos de elementos d≠0), ℤ nºs inteiros (não contém  (1/2)1=1/2).

Subespaços lineares de espaços lineares: definição; qualquer espaço linear tem subespaços {0} e V, se existem subespaços diferentes contêm o 1º e estão contidos no 2º.

Proposição: Um subconjunto S de um espaço linear V é um subespaço linear de V se e só se é ≠∅ e satisfaz as propriedades de fecho da adição e da multiplicação por escalares.

2ª Aula prática

29 setembro 2017, 09:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre sistemas de equações lineares, multiplicação de matrizes e factorização triangular.