Sumários

13ª Aula prática

13 dezembro 2017, 11:00 Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre valores e vectores e próprios e.formas canónicas de Jordan.


36ª Aula - Definição de adjunta de transformação linear em espaço euclidiano complexo de dimensão finita, e de transformação normal. Teorema de Schur de existência de representação matricial triangular em base ortonormal para qualquer transformação linear em espaço euclidiano complexo de dimensão finita. Teorema de decomposição espectral para transformações normais em espaço euclidiano complexo de dimensão finita. As transformações hermitianas, antihermitianas e unitárias são normais. Exemplo de determinação de base para forma canónica de matriz.

12 dezembro 2017, 10:00 Luis Magalhães

Considera-se um espaço euclidiano complexo V com dim V=n finita.

Para que uma matriz real ou complexa nxn A seja semelhante a uma matriz diagonal U-1AU com U unitária (i.e. tal que U-1=U*, ou seja as colunas de U são ortonormais) é necessário que A*A=AA*.

Definição: chama-se matriz normal a uma matriz quadrada real ou complexa A tal que A*A=AA*.

Revisão: Ax·y=y*Ax=(A*y)*x=A*y, para x,y∈ℝn.

Definição: para T∈L(V) chama-se adjunta de T a T*∈L(V) tal que <T(u),v>=<u,T*(v)> para u,v∈V (a representação matricial de T* numa base ortonormal é a adjunta da representação matricial de T na mesma base.

Definição: T∈L(V) chama-se transformação normal se T*T=TT*.

Proposição: Para T∈L(V) ter representação matricial diagonal numa base ortonormal é necessário que seja normal.

Proposição: Um subespaço linear S de V é invariante (i.e. T(S)⊂S) sob T∈L(V) se e só se S é invariante sob T*.

Teorema de Schur: Toda T∈L(V) tem representação matricial triangular inferior (ou superior) em base ortonormal de V apropriada. (Dem. por indução na dimensão n com base na existência de pelo menos um valor próprio complexo de T* com um valor próprio u e o complemento ortogonal do espaço gerado por u ser invariante sob T e ter dimensão n-1).

Corolário: Toda matriz quadrada real ou complexa A é semelhante por transformação de semelhança por matriz unitária U apropriada a uma matriz triangular inferior e também (com outra matriz de semelhança) a uma matriz triangular superior.

Teorema de decomposição espectral: T∈L(V) tem representação matricial diagonal numa base ortonormal de V apropriada se e só se T é normal. Em caso afirmativo T=ΣjλjPj , em que os λj são os valores próprios de T sem repetições e as Pj são projecções ortogonais duas a duas (i.e. Pj(V)⊥Pk(v) para j≠k) (são as projecções ortogonais sobre os espaços próprios dos correspondentes valores próprios de T). (Dem. de suficiência provando que representação matricial triangular D numa base ortonormal adequada de uma ttransformação normal satisfaz ||Db||=||D*b|| para todo b∈ℂn, pelo D é diagonal).

As matrizes A hermitianas (i.e. A*=A), antihermitianas (i.e. A*=-A), unitárias (i.e. A*A=I=A*) são normais (logo, as matrizes reais simétricas, antisimétricas, ortogonais são normais).

Definição: T∈L(V) é hermitiana se <T(u),v>=<u,T(v)> para u,v∈V, é antihermitiana se <T(u),v>=-<u,T(v)> para u,v∈V, é unitária se <T(u),T(v)>=<u,v> para u,v∈V,

As transformações unitárias preservam normas e ângulos; preservam distâncias (são isometrias).

Se T∈L(V) tem representação matricial A numa base ortonormal, T é hermitiana, antihermitiana ou unitária se e só se A é, resp., hermitiana, antihermitiana ou unitária.

Os valores próprios de T∈L(V) hermitianas, antihermitianas ou unitárias são, resp., nºs reais, imaginários puros ou complexos de módulo 1.

Exemplo concreto com matriz simétrica: diagonalização para matriz diagonal real com transformação de semelhança ortogonal.

Observação: Fica-se a conhecer uma classe ampla de matrizes quadradas diagonalizáveis por transformações de semelhança unitárias (que correspondem a mudanças de bases ortonormais), nomeadamente as matrizes normais, que incluem matrizes facilmente identificáveis como matrizes hermitianas, antihermitianas ou unitárias (no caso de matrizes reais, matrizes simétricas, antisimétricas ou ortogonais).

Exemplo de determinação de base para forma canónica de matriz.


12ª Aula prática

11 dezembro 2017, 15:00 Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre produto externo e .determinantes.


12ª Aula prática

11 dezembro 2017, 13:30 Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre produto externo e .determinantes.


35ª Aula - Revisão: Valores e vectores próprios. Invariância de polinómios característicos com mudanças de base. Exemplos, incluindo resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem com matriz de coeficientes constante diagonalizável. Formas canónicas de Jordan e cálculo de bases correspondentes. Exemplos de cálculo de valores e vectores próprios, diagonalização de matrizes e obtenção de formas canónicas de Jordan.

11 dezembro 2017, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: Valor e vector próprio, espaço próprio, multiplicidade geométrica (m.g.) de valor próprio. Para matrizes quadradas reais ou complexas ou transformações lineares em espaço linear real ou complexo de dimensão finita: polinómio característico, multiplicidade algébrica (m.a.) de valor próprio.

Proposição: Polinómio característico é invariante com representação matricial. Polinómios característicos de matrizes semelhantes são iguais.

Corolário: Traço e determinante são invariantes com mudança de base. Se λ1, ... λn são valores próprios, repetidos de acordo com m.a., de matriz A nxn real ou complexa, então tra A=λ12+ ⋯ +λ, det A=λ1λ⋯ λn.

Exemplo: Transformações lineares em espaço linear de dimensão finita n com um único valor próprio e todos vectores ≠0 vectores próprios (m.a.(λ)=m.g.(λ)=n). (tem representação diagonal embora só com 1 valor próprio).

Exemplo: Equação diferencial x'(t)=Ax(t) , com A matriz real ou complexa nxn , x(t)∈|Kn (|K=ℝn ou ℂn), t∈ℝ
(1) Se A=diag(λ1, ... λn) , é um sistema de n equações diferenciais escalares de 1ª ordem xj'(t)=λjxj(t) , que têm solução geral xj(t)=cjeλjt. A solução geral da equação inicial é x(t)=(c1eλ1t, ..., cneλnt) , com c1, ..., cn∈|K ; o espaço das soluções tem dimensão n .
(2) Se A não é diagonal mas é diagonalizável (i.e. existe base de |Kn de vectores próprios de A , ou seja m.g=m.a para cada valor próprio). Seja S matriz de mudança de base que diagonaliza (colunas são as componentes de vectores próprios de uma base), i.e. S-1AS é diagonal; logo, com y=S-1x , a equação diferencial equivale a y'(t)=S-1ASy(t) ; resolve-se como em (1) e obtém-se a solução geral da equação inicial da solução geral y(t) desta equação por x=Sy.
(3) Se A não é diagonalizável, fica para resolver: interessa desacoplar tanto quanto possível componentes.

Revisão: Falou-se que uma matriz que não é diagonalizável por mudança de base pode ser quase desacoplada, se os escalares forem complexo, com formas canónicas de Jordan, J=diag(J1, ... Jk), cada bloco de jordan Jj mjxmj com um mesmo escalar na diagonal principal, 1 nas componentes imediatamente acima da diagonal principal e 0 nas outras componentes. O caso diagonalizável é com todos blocos de Jordan 1x1.

Observações: 
(1) Na forma canónica de Jordan de uma matriz A nxn pode haver blocos 1x1; 
(2) pode haver diferentes blocos com o mesmo escalar na diagonal principal; 
(3) os escalares na diagonal principal são os valores próprios de A; 
(4) m.a. de um valor próprio é a soma das ordens mj dos blocos com esse valor próprio na diagonal principal; 
(5) Os vectores da base correspondente a uma forma canónica de Jordan que são vectores próprios de A são os que correspondem à coluna inicial de cada bloco de Jordan; 
(6) m.g. de um valor próprio de A é o nº de blocos de Jordan com esse valor próprio na diagonal principal;
(7) m.g.≤m.a.

Teorema: Toda transformação linear T num espaço linear complexo V de dimensão finita tem representação matricial em forma canónica de Jordan numa base apropriada de V. Toda matriz quadrada real ou complexa é semelhante a uma forma canónica de Jordan.

Observação: Não se prova agora mas mostra-se como calcular. 

Basta mostrar como determinar uma base para um dos blocos de Jordan Jj mjxmj com valor próprio λ. Os vectores de base são v1, ..., vmj linearmente independentes tais que T(v1)=λjv1, T(v2)=λjv2+v1, T(v3)=λjv3+v2, ... , T(vnj)=λjvnj+vnj-1 , pelo que tem de ser v1∈N(T-λj1V) ∩ R(T-λj1V) , v2∈N([T-λj1V]2) ∩ R(T-λj1V) ,  v3∈N([T-λj1V]3) ∩ R(T-λj1V), ... , vmj-1∈N([T-λj1V]mj-1) ∩ R(T-λj1V), vmj∈N( [T-λj1V]m) . É preciso escolher entre os vectores possíveis em cada passo os que permitem prosseguir a sequência (i.e. que além de pertencerem a N( [T-λj1V]m) também pertencem a R(T-λj1V) . Notar que N(T-λj1V)N([T-λj1V]2) N([T-λj1V]p)=N([T-λj1V]p+1= ⋯ , para algum p e mj≤p . Aos vectores de N([T-λj1V]p\{0} chama-se vectores próprios generalizados associados ao valor próprio λj de A .

Exemplos concretos de cálculo de valores e vectores próprios, multiplicidades algébrica e geométrica de valores próprios, se matrizes são diagonalizáveis, formas canónicas de Jordan e correspondentes bases.

Observação: Se uma matriz quadrada real tem valores próprios que não são reais, as respectivas formas canónicas de Jordan não são matrizes reais.