12ª Aula prática

7 dezembro 2017, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre produto externo e .determinantes.

34ª Aula - Valores e vectores próprios: definição e verificação que calculá-los reduz-se a resolver equações lineares homogéneas indeterminadas, polinómio característico (determinação dos coeficientes de grau n, n-1 e 0 , com n a ordem da matriz) e relação com valores próprios. Multiplicidade geométrica e algébrica de valor próprio. Existência e cálculo de representações matriciais diagonais de transformações lineares. Prova de que vectores próprios associados a valores próprios distintos são linearmente independentes. Invariância de polinómio característico sob mudança de uma para outra base do espaço. Valores próprios não reais de matrizes reais ocorrem em pares conjugados, e os correspondentes vectores próprios têm componentes resp. conjugadas. Valores próprios de matriz triangular.

7 dezembro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Definições: Valor próprio λ e vector próprio u associados de transformação linear T∈L(U,V) : T(u)=λu , u≠0 , com λ escalar do espaço linear V ; espaço próprio de valor próprio λ ( E(λ)=N(T-λ1_U)≠{0} ) e multiplicidade geométrica de valor próprio λ (dim E(λ) ) .

Observações: Os vectores próprios são os vectores que definem direcções invariantes sob a acção da transformação linear. Os valores próprios reais são os factores de expansão/contracção (conforme |λ|>1 ou |λ|<1) sem ou com reflexão  (conforme λ>0 ou λ<0) na direcção dos vectores próprios associados.  Valores e vectores próprios de transformações lineares em espaços de dimensão finita calculam-se resolvendo sistemas de equações lineares homogéneos indeterminados.

Se T∈L(V) e dim V=n é finita, e A é a representação matricial de T numa base de V, então λ é valor próprio de T se e só se Au=λu para algum u≠0 (diz-se também que λ é valor próprio e u é um vector próprio associado da matriz A ), e isso acontece se e só se N(A-λI_n)≠{0} , o que acontece se e só se p_A(λ)=det(A-λI_n)=0 (equação característica de A ). Chama-se a p_A polinómio característico de A . 

Os valores próprios de T e de A são os zeros do polinómio característico de A que pertencem aos escalares do espaço linear V. O polinómio característico tem grau n e é da forma p_A(λ) = (-1)ⁿλⁿ + (-1)^n-1(tra A)λ^n-1+ c_n-2λ^n-2 + ··· + c₁λ + det A , com c_n-2, ..., c₁ coeficientes escalares. Do Teorema Fundamental da Álgebra, com escalares reais ou complexos o polinómio característico pode ser factorizado em factores lineares p_A(λ)=(λ-λ₁)ⁿ₁··· (λ-λ_k)ⁿ_k com λ₁, ..., λ_k∈ℂ distintos, em que n_j é chamado multiplicidade algébrica do zero λ_j . Em espaços lineares reais os valores próprios são os zeros reais e em espaços lineares complexos os valores próprios são os zeros complexos do polinómio característico.  

Se A é matriz quadrada real, os valores próprios não reais ocorrem em pares conjugados com a mesma multiplicidade algébrica de cada par conjugado.

T∈L(V) com dim V=n finita tem representação diagonal em alguma base de V se e só se existe uma base de V de vectores próprios de T, ou seja se e só se existem n vectores próprios de T linearmente independentes; quando existem as representações diagonais têm na diagonal principal os valores próprios de T, repetidos de acordo com a resp. multiplicidade algébrica; bases ordenadas em que a representação é diagonal são bases constituídas por vectores próprios de T associados aos resp. valores próprios na diagonal principal, pela ordem correspondente.

Observação: nem todas T∈L(V) com dim V=n finita têm representação matricial diagonal (i.e. nem todas as matrizes nxn são diagonalizáveis por mudança de base) e, portanto, pode não ser possível desacoplar totalmente a dependência das componentes do domínio para as imagens de T (por não existirem n vectores próprios de T linearmente independentes).

Teorema: Vectores próprios de valores próprios distintos de uma transformação linear são linearmente independentes.

Corolário: Se T∈L(V), com dim V=n finita tem n valores próprios distintos, então tem representação diagonal em alguma base (os elementos da diagonal principal são os valores próprios repetidos de acordo com multiplicidade algébrica e bases são de correspondentes vectores próprios, pela mesma ordem).

Observação: n valores próprios distintos é suficiente para existência de representação matricial diagonal, mas não é necessário (e.g. identidade).

Exemplo de matriz 2x2 sem valores próprios reais (logo, de transformação linear em ℝ² sem valores próprios). A matriz não é diagonalizável numa matriz real, mas é diagolanizável numa matriz complexa.

O conjunto dos valores próprios de transformação linear em espaço linear real pode ser vazio, mas em espaço linear complexo de dimensão finita é sempre não vazio (devido ao Teorema Fundamental da Álgebra).

Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos na diagonal principal, com multiplicidade algébrica igual ao nº de resp. repetições. Referência a respectivos vectores próprios.

12ª Aula prática

6 dezembro 2017, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre produto externo e .determinantes.

12ª Aula prática

6 dezembro 2017, 11:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios sobre produto externo e .determinantes.

33ª Aula - Revisão: Definição de determinante, fórmula para determinantes com permutações, existência e unicidade de determinante, cálculo de determinantes por eliminação de Gauss, não singularidade de matriz quadrada se e só se tem determinante diferente de 0 . Exemplo de cálculo de determinante com a fórmula com permutações. Determinante de matrizes triangulares e de transpostas de matrizes. Fórmulas de Laplace para determinantes, e exemplo de cálculo. Definição de cofactor de matriz e de matriz dos cofactores. Determinante do produto de matrizes nxn , determinante da inversa de matriz não singular. Aplicações de determinantes: volume-p de paralelepípedos-p em ℝn, fórmula para determinante de inversa de matriz não singular, Regra de Cramer. Exemplos. Comparação de ordens assimptóticas para o nº de multiplicações de escalares na ordem das matrizes, para as várias fórmulas dadas.

5 dezembro 2017, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Determinante é função de (|Kn)n em |K (=ℝ ou ℂ) que satisfaz as condições: (1) Multilinearidade, (2) Anulação se 2 argumentos são iguais), (3) 1 na base canónica de ℝⁿ.
(I) Fórmula para determinantes com permutações. Existência e unicidade de determinante. (II) Cálculo de determinantes de matrizes A nxn por eliminação de Gauss. A é não singular se e só se det A≠0 .

Exemplos: (1) Se A é triangular, det A=a₁₁⋯ a_nn. (2) det A^t=det A . (3) Cáluculo de det de matriz 4x4 pela fórmula com permutações.

(III) Fórmula de Laplace com base na linha i : det A = ∑ⁿ_j=1a_ij(-1)^i+jA_ij , em que A_ij é a submatriz de A obtida suprimindo a linha i e a coluna j 
(Dem. Imediato da fórmula com permutações). Como det A^t=det A , Fórmula de Laplace com base na coluna j : det A = ∑ⁿ_i=1a_ij(-1)^i+jA_ij . Todas as 2n f+órmulas de Laplace dão o mesmo valor!

Definição: Cofactor-ij de matriz A é (cof A)_ij=(-1)^i+jdet Aij , matriz dos cofactores de uma matriz quadrada A (é a matriz com componente-ij igual ao cofactor-ij de A).

Exemplo: Cálculo de det de matriz 3x3 com Fórmula de Laplace.

Observação: Ordem assimptótica de multiplicações de escalares para matrizes genéricas em função da ordem n da matriz: (I) O(nn!) , (II) O(n³/3) , (III) O(n⁴/3) se os cofactores forem calculados por eliminação de Gauss.

Proposição:
(1) Se A,B são matrizes nxn, então det AB=(det A)(det B) (Dem.: se det B≠0, a função definida por f(A)=(det AB)/(det B) satisfaz as 3 condições da definição de det, e como esta é uma função única f(A)=det A ; se det B=0, as linhas de B são linearmente dependentes, e rank B<n , pelo que rank AB≤min{rank A, rank B}<n e, então, as linhas de AB são linearmente dependentes e det AB=0). 
(2) Se A é matriz quadrada não singular, então det A^-1=1/(det A) (Dem.: (det A)(det A^-1)=det(AA^-1)=det I_n=1 ).

Aplicações de determinantes:
(1) Volumes-n de paralelepípedos-n em ℝⁿ: vol_nP_n(v₁,..., v_n)=|d(v₁,...,v_n)| .

(2) Volumes-p de paralelepípedos-p em ℝⁿ (p∈{1,2 ,...,n}): vol_pP_p(v₁,..., v_p)=[det G(v₁,...,v_p)]^1/2, em que  G(v₁,...,v_p)=[v_j·v_i]ⁿ_i,j=1 é a matriz de Gram de (v₁,...,v_p). (Dem.: Se (u₁,...,u_p) é uma base ortonormal de um subespaço linear de ℝⁿcom dim=p ,  vol_pP_p(v₁,..., v_p)=det A=[det A^tA]^1/2, em que A=[v_i·u_j]ⁿ_i,j=1. Logo, vol_pP_p(v₁,..., v_p)=[det ∑^p_k=1(v_j·u_k)(v_i·u_k)]^1/2=[det v_j·v_i]^1/2=[det G(v₁,...,v_p)]^1/2, em que a penúltima igualdade é imediata da Fórmula de Parsval).

(3) Fórmula para inversa de matriz não singular nxn : A^-1=[1/(det A)](cof A)^t . 

Observação: Para uma matriz genérica que não seja de muito baixa dimensão o cálculo com esta fórmula é computacionalmente muito menos eficiente do que com eliminação de Gauss, mas a fórmula permite obter a sensitividade das componentes da inversa a partir das componentes da matriz e calcular directamente componentes, além de ter interesse teórico.

Regra de Cramer para resolução de sistemas de n equações lineares com n incógnitas com matriz de coeficientes A não singular: a solução de Ax=b é x=(x₁,...,x_n) com x_j=(det C_j)/(det A) , em que C_j é a matriz obtida de A substituindo a coluna j por b (Dem.: x=A^-1b=[1/(det A)](cof A)^t, pelo que x_j = [1/(det A)] ∑_kb_k(cof A)_kj= (det C_j)/(det A) ).