Sumários

Aula extraordinária de equações diferenciais parciais e séries de Fourier. (aula online)

21 Dezembro 2020, 13:00 Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de exercícios da ficha da semana 13.


Observações sobre a equação do calor. Princípio de máximo, unicidade das soluções do problema de valor inicial e de fronteira. Propagação de calor a velocidade infinita.

A equação das ondas e a solução de D'Alembert. Propagação de ondas a velocidade finita. O princípio de Huygens e o domínio de dependência dum ponto (x,t). 


49ª Aula Teórica (aula online)

18 Dezembro 2020, 13:00 Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Breve descrição histórica do problema da representação de funções periódicas por séries de senos e cosenos. Questões de convergência e dependência das conclusões em demonstrações logicamente rigorosas e definições precisas de muitos conceitos matemáticos. A motivação da axiomatização da análise matemática.

Determinação das fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função periódica, por analogia com a representação de vectores numa base ortogonal, em espaços euclidianos de dimensão finita. Ortogonalidade dos senos e cosenos: o integral como produto interno entre duas funções periódicas e coeficientes de Fourier como projecções duma função numa base ortogonal de dimensão infinita.

Definição dos espaços L^p[-L,L]  de funções integráveis à Lebesgue no intervalo [-L,L] e inclusões de L^q[-L,L] em L^p[-L,L], se q > p. 

Definição de coeficientes de Fourier e correspondente série de Fourier para qualquer função L^1 (que inclui o caso de qualquer outro L^p, com p>1).

Referência a espaços de Hilbert e ao espaço L^2 das funções de quadrado integrável à Lebesgue, onde o produto interno de funções está bem definido. Analogia com espaços euclideanos de dimensão finita.

Teorema de Riesz-Fischer: convergência de séries de Fourier em L^2.

Teorema de Dirichlet: convergência pontual de séries de Fourier para a média dos limites laterais em cada ponto, para funções seccionalmente C^1.

Teorema de Carleson: convergência pontual de séries de Fourier em quase toda a parte, ou seja, a menos de conjuntos de medida de Lebesgue nula, para funções contínuas.


48ª Aula Teórica (aula online)

17 Dezembro 2020, 13:00 Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução do problema de valores e funções próprias X''-\lambda X=0, com condições de fronteira homogéneas X(0)=X(L)=0. Referência a outras condições de fronteira homogéneas, em particular com a barra isolada nas extremidades, X'(0)=X'(L)=0.

Analogia multi-dimensiona, com os valores próprios e funções próprias do Laplaciano correspondentes aos valores e vectores próprios da matriz A dum sistema de EDOs linear homogéneo de coeficientes constantes.

Acerto da condição inicial da equação do calor como combinação linear (finita) de senos. Motivação para a série de Fourier, como "combinação linear infinita" de senos e/ou cosenos que possa representar funções arbitrárias na condição inicial.


13ª Aula Prática

16 Dezembro 2020, 16:00 Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de exercícios de ficha da semana 13.


Teste de avaliação.


13ª Aula Prática

16 Dezembro 2020, 14:00 Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Resolução de exercícios de ficha da semana 13.


Teste de avaliação.