Sumários

17ª Aula Teórica

20 outubro 2020, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Continuação do estudo do integral complexo.

Propriedades elementares: linearidade, mudança de sentido e concatenação.

Invariância do integral sob reparametrização de curvas.

Majoração do valor absoluto de um integral complexo. Exemplo.

16ª Aula Teórica

19 outubro 2020, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Revisão de transformações de coordenadas em R^2 como difeomorfismos entre abertos.Coordenadas polares e correspondente forma das equações de Cauchy-Riemann. Exemplo do logaritmo.


Ortogonalidade das curvas de nível da parte real e imaginária de uma função holomorfa. Interpretação por conformalidade da função inversa.

Integração complexa. Caminhos regulares, seccionalmente regulares e parametrização de curvas. Curva de Jordan.
Definição do integral complexo.
Exemplos: cálculo, pela definição, do integral de 1/z e 1/z^2 na circunferência de raio 1 em torno da origem.

15ª Aula Teórica

16 outubro 2020, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Regra de L'Hopital para indeterminações 0/0. Exemplos.

Definição de transformação conforme e conclusão que funções complexas diferenciáveis, com derivada não nula, são conformes. Observações acerca da implicação contrária. Exemplos e visualizações.

Revisão do teorema da função inversa em R^2 e aplicação à dedução do teorema da função inversa complexa.
Diferenciabilidade dos ramos de Log z pelo teorema da função inversa complexa.

14ª Aula Teórica

15 outubro 2020, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Teorema de Cauchy-Riemann: diferenciabilidade complexa é equivalente à diferenciabilidade em R^2 conjuntamente com as equações de Cauchy-Riemann. Demonstração.

Interpretação geométrica da derivada complexa (dilatação e rotação local) e comparação com a derivada em R^2.

Revisão de condição suficiente de diferenciabilidade em abertos de R^2: funções C^1 são diferenciáveis.

Contra-exemplo de que só as equações de Cauchy-Riemann não são suficientes para garantir diferenciabilidade complexa (Problema 1 da ficha das aulas práticas para a semana 4).

Derivada das funções exponencial, trigonométricas e hiperbólicas.

4ª Aula Prática

14 outubro 2020, 16:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Conclusão da resolução de problemas da ficha da semana 3. Início da resolução de problemas da ficha da semana 4.