Sumários

4ª Aula Prática

14 outubro 2020, 14:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Conclusão da resolução de problemas da ficha da semana 3. Início da resolução de problemas da ficha da semana 4.

4ª Aula Prática

13 outubro 2020, 15:30 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Conclusão da resolução de problemas da ficha da semana 3. Início da resolução de problemas da ficha da semana 4.

13ª Aula Teórica

13 outubro 2020, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Definição de função diferenciável num ponto, de função holomorfa/analítica num ponto e de função inteira. Exemplos de cálculo de derivadas pela definição para algumas funções.


Continuidade de funções diferenciáveis. Exemplo da função conjugada como não diferenciável, mas contínua. Não diferenciabilidade de qualquer ramo da função logaritmo, no corte do argumento.

Derivada de soma, produto, quociente e composta. Diferenciabilidade de polinómios.

Equações de Cauchy-Riemann como condição necessária à existência de derivada complexa, por cálculo do limite da razão incremental em xx (diferenciação parcial em xx) e em yy (diferenciação parcial em yy). 

Teorema de Cauchy-Riemann: diferenciabilidade complexa é equivalente à diferenciabilidade em R^2 conjuntamente com as equações de Cauchy-Riemann.

12ª Aula Teórica

12 outubro 2020, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Definição de continuidade uniforme. Teorema de Heine-Cantor: funções contínuas em compactos são uniformemente contínuas.

Limites de funções complexas. Equivalência da definição à Cauchy e à Heine. Comparação com a definição de continuidade em pontos do domínio.
Equivalência com o conceito de limite em R^2: separação em parte real e imaginária. Limites de somas, diferenças, produtos e quocientes de funções. Limites infinitos e quando z tende para infinito. Indeterminações. Exemplos.


Definição de derivada complexa.

11ª Aula Teórica

9 outubro 2020, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva

Continuidade de funções. 

Definição à Heine e equivalência com a definição à Cauchy: relação com convergência de sucessões.
Equivalência com a definição em R^2. Continuidade da parte real e imaginária.
Continuidade da soma, produto, quociente e composta de funções contínuas.
Exemplos: estudo da continuidade Exp(z), polinómios e (des)continuidade de Log(z) ao longo do corte do argumento, qualquer que seja o ramo.
Continuidade de f em z_0 em termos de vizinhanças abertas de f(z_0) e z_0. 
Continuidade de f em termos de abertos: a pré-imagem de um aberto é a intersecção dum aberto com o domínio (aberto relativo do domínio).

Conjunto compacto. Definição por coberturas de abertos e equivalência em R^n com limitados e fechados (Heine-Borel). 
Caracterização de compactos, em espaços métricos, por sucessões com subsucessões convergentes.
Se f é contínua e K é compacto, f(K) é compacto.
Corolário: Teorema de Weiertstrass, funções reais contínuas em compactos têm máximo e mínimo.