Exercícios das fichas 7 e 9 (Integrabilidade) (aula online)

20 abril 2020, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 7: 2 (e), 8

30ª Aula - Revisão: Corolário do TCD (dominar por uma função integrável o módulo da função limite em vez dos módulos dos termos da sucessão). TCM e TCD para séries. Prova de que integral de valor absoluto de função é nulo se e só se a função é nula q.t.p. Observação sobre os 4 métodos já disponíveis para determinar integrabilidade e calcular integrais ((1) f=g q.t.p. num intervalo limitado e esta integrável à Riemann, (2) TCM, (3) TCD, (4) Corolário do TCD) e que convém simplificar com a ajuda de continuidade.  Funções e conjuntos mensuráveis e medida de conjunto mensurável. Propriedades gerais de funções mensuráveis. Condições suficientes de integrabilidade para funções mensuráveis em conjuntos mensuráveis.

17 abril 2020, 11:30 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada) 

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 49-51, 54-57 do livro Luis T. Magalhães, Integrais Múltiplos, 3ª Edição, Texto Editora, 1998 e exercícios correspondentes.

Revisão:  Corolário do TCD: Se S⊂ℝ ⁿ, {f _k}⊂L(S)  e f _k→f  q.t.p. em S , então  |f|≤h∈L(s) q.t.p. em S ⇒ f∈L(S) , { ∫ _Sf _k } converge, e ∫ _Sf = lim _k→∞∫_Sf _k .

Observação: Este corolário dispensa dominar por uma função integrável o valor absoluto de cada uma das funções termos da sucessão e substitui-a por dominar apenas o valor absoluto da função limite.

(1) TCM Levi para séries: Se ∑_k∫_S|g_k| converge, ou 
(2) TCD Lebesgue para séries: Se ∑_k|g| converge q.t.p. em S e ∑_k |g_k| ≤ h∈L(S) ,
então ∑_k ∫_Sg_k converge, ∑_kg_k→G∈L(S) q.t.p. em S, e ∑_k ∫_Sg_k=∑_k ∫_Sg_k .

(Dem.: Para o TCM separar g_k nas partes positiva e negativa, g_k=g_k⁺-g_k^-, |g_k|=g_k⁺+g_k^- e aplicar TCM às somas parciais de cada uma. O resto é imediato dos TCM e TCD aplicados às somas parciais das séries.)

Observação: Estes resultados dão condições fáceis para troca de série com integral; com integral de Riemann são necessárias condições mais fortes e, em geral, mais difíceis de verificar (exigem convergência uniforme).

Proposição: Se S⊂ℝⁿ e f:S→ℝ , então |f|∈L(S) e ∫_S|f|=0 ⇔ f=0 q.t.p. em S . 
( Dem.: (⇐) é imediata. (⇒) com g_k=|f| , ∑_k ∫_S|g_k|=0 e, do TCM para séries, ∑_kg_k converge q.t.p. em S , logo é uma série convergente de termos idênticos, todos iguais a |f| ; portanto |f|=0 q.t.p. em S .

Observaçõe: Até agora, para provar que f∈L(S) e calcular ∫_Sf tem-se 4 métodos:
(i) Por integrais de Riemann: se S⊂ℝⁿ é limitado, f=g q.t.p. em S e g é limitada e integrável à Riemann em S , então f∈L(S) e  ∫_Sf é igual ao integral de Riemann de g .
(ii) TCM de Levi.
(iii) TCD de Lebesgue.
(iv) Corolário do TCD de Lebesgue (dominação da função limite em vez dos termos da sucessão de aproximações).
Interessa ter um método mais simples para garantir integrabilidade aproveitando continuidade de funções, para o que se considera o conceito de função e conjunto mensurável.

Definições: Função de subconjunto de ℝⁿ em ℝ mensurável (limite q.t.p. de sucessão de funções em escada em ℝⁿ), subconjunto de ℝⁿ mensurável (com função característica mensurável), medida (de Lebesgue) de conjunto S mensurável (∫_S1 se a função característica de S é integrável e infinito caso contrário), M(S) designa o conjunto das funções f:S→ℝ mensuráveis num conjunto mensurável S⊂ℝⁿ.

Revisão: definições de função de subconjunto de ℝⁿ em ℝ mensurável, subconjunto de ℝⁿ mensurável, medida de conjunto mensurável, M(S) designa o conjunto das funções f:S→ℝ mensuráveis num conjunto mensurável S⊂ℝⁿ.

Proposição: Se ∅≠S⊂ℝⁿ é mensurável, então:
(1) Se , f₁, ..., f_m∈M(S) , G:ℝ^m→ℝ é contínua em f₁(S) x ... x f_m(S) e h=G∘(f₁, ..., f_m) , então h∈M(S) .
(2) Se ∅≠S⊂ℝⁿ é mensurável, então L(S)⊂M(S) .
(3) Se {f_k}⊂M(S) e f_k→f q.t.p. em S, então f∈M(S) .
(Dem.: (1) se s_j são funções em escada e s_j→f_j em S , G∘(s₁, ..., s_m)  é função em escada e G∘(s₁, ..., s_m) →G∘(f₁, ..., f_m) =h . 
(2) se f∈L(S) , a função igual a f em S e nula fora de S satisfaz f*∈L(ℝⁿ) , pelo que pode ser arbitrariamente aproximada q.t.p. por uma função em escada; logo, f*∈M(ℝⁿ) e, portanto, f∈M(S) . 
(3) com 0<h∈L(S) g_k=hf_k/(h+|f_k|)→g=hf/(h+|f|) q.t.p. em S e |g_k|,|g|<h ; do TCD g∈L(S)⊂M(S) e, como hg/(h-|g|)=f , de (1)  f∈M(S) ).

Observações: 
(1) Em consequência, somas produtos, quocientes com denominador ≠0 q.t.p., máximos ou mínimos, partes positivas ou negativas de um nº finito de funções mensuráveis ou limites de sucessões de funções mensuráveis são funções mensuráveis. 
(2) Composições de funções contínuas com funções mensuráveis são mensuráveis (ATENÇÃO: composições de funções mensuráveis com funções mensuráveis podem não ser mensuráveis). 
(3) Complementares, uniões ou intersecções numeráveis de conjuntos mensuráveis são mensuráveis. Todos os subconjuntos abertos, todos os subconjuntos fechados e todos os subconjuntos com medida nula de ℝⁿ são mensuráveis. Funções contínuas em subconjuntos mensuráveis de ℝⁿ são mensuráveis. Funções monótonas em intervalos de ℝ são mensuráveis. 
(4) Como todas estas operações com conjuntos e funções mensuráveis são mensuráveis é de esperar que seja bastante difícil construir exemplos de conjuntos não mensuráveis (exemplos conhecidos usam Axioma de Escolha). O difícil é encontrar conjuntos não mensuráveis. 
(5) Como identificar funções mensuráveis em conjuntos mensuráveis é em geral fácil com as propriedades indicadas, um método geral muito útil para provar integrabilidade de uma função é: 
(1º) verificar que é mensurável; 
(2º) majorar o módulo da função por uma função integrável apropriada.

Proposição: Se ∅≠S⊂ℝⁿ é mensurável, então:
(1) ∅≠T⊂S mensurável, f∈L(S) ⇒ f∈L(T) .
(2) f∈M(S), |f|∈L(S) ⇒ f∈L(S) .
(3) Se f∈M(S) , então  f∈L(S) ⇔ |f|∈L(S) .
(Dem.: (1) se f∈L(S) , a função igual a f em S e nula fora de S satisfaz f*∈L(ℝⁿ) ; logo, |f*|∈L(ℝⁿ) . Como χ_T∈M(ℝⁿ) , de (1) e (2) da 1ª Proposição é f*χ_T∈M(ℝⁿ) e |f*χ_T|≤|f*|; existe sucessão de funções em escada {s_k} tal que s_k→f*χ_T q.t.p. em ℝⁿ e do corolário do TCD, f*χ_T∈L(ℝⁿ) ; logo,  f∈L(T) . (2) f∈M(S) , existe sucessão de funções em escada {s_k} tal que s_k→f q.t.p. em S ; de (1) s_k∈L(S) , e como  |f|∈L(S) , do corolário do TCD, f∈L(S) . (3) (⇒) é propriedade geral já estabelecida; (⇐) resulta de (2) com g=|f| ).

Observação: Funções mensuráveis em conjuntos mensuráveis são integráveis (à Lebesgue) se e só se são absolutamente integráveis, mas há funções absolutamente integráveis à Riemann que não são integráveis à Riemann (e.g. f:[0,1]→ℝ com valor 1 nos racionais e -1 nos irracionais).

29ª Aula - Aplicação do TCM Levi para provar integrabilidade e calcular integral de função concreta do 1º quadrante de ℝ2 em ℝ. Observações sobre a definição de integrais múltiplos impróprios exigir integrabilidade do valor absoluto da função integranda. Prova do T. de Convergência Monótona (TCM) de Levi e observações sobre este resultado. Exemplos concretos de aplicação do T. de Convergência Dominada (TCD) de Lebesgue. Prova do TCD Lebesgue. Corolário do TCD Lebesgue com a dominação na função limite em vez de nos termos da sucessão.  

16 abril 2020, 13:00 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada) 

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 41-47 do livro Luis T. Magalhães, Integrais Múltiplos, 3ª Edição, Texto Editora, 1998 e exercícios correspondentes.

Revisão:
Teorema de Convergência Monótona (TCM de Levi): Se S⊂ℝⁿ, {f_k}⊂L(S) é uma sucessão monótona q.t.p. em S  e {∫_Sf_k} é limitada, então ∃ f∈L(S) : f_k→f q.t.p. em S e ∫_Sf =lim_k→∞∫_Sf_k .
Teorema de Convergência Dominada de Lebesgue (TCD Lebesgue): Se S⊂ℝⁿ, {f_k}⊂L(S) , |f_k|≤h∈L(s) q.t.p. em S e f_k→f  q.t.p. em S , então f∈L(S) , { ∫_Sf_k } converge, e ∫_Sf = lim_k→∞∫_Sf_k .
Estes são os principais intrumentos práticos de determinação de integrabilidade e de cáculo de integrais de Lebesgue quando não possam ser calculados como integrais de Riemann pela regra de Barrow.

Observações:
(1) Os resultados análogos para integrais de Riemann são falsos e resultados nessas direcções exigiriam condições mais restritivas e bastante mais complicadas.
(2) Integrais múltiplos impróprios à Riemann exigem condições adicionais complicadas associadas a séries de nºs reais simplesmente convergentes e não absolutamente convergentes poderem convergir para um nº arbitrário por reordenação de termos, porque se perde a ordenação que há em ℝ , pois um conjunto S ilimitado ou limitado mas em que uma função integranda f é ilimitada pode ser aproximado por infinitas sucessões expansivas {S_k} de subconjuntos tais que U_kS_k=S e lim_k→∞∫_Skf pode ser diferente para sucessões {S_k} diferentes. Com T_k=S_k+1\S também é S=U_kT_k , e lim_k→∞∫_Skf =∑_k ∫_Tkf , ou seja é uma série. A comparação do limite correspondente a duas sucessões expansivas {S_k} de subconjuntos de S cuja união é S  corresponde a comparar a soma de duas séries e estas podem ser relacionadas considerando as séries correspondentes aos subconjuntos S_k\T_k , pois os termos das duas séries iniciais são somas de um número finito de termos da última série, embora possivelmente por ordens diferentes. De CD1 sabe-se que a partir de séries simplesmente convergentes pode-se obter por simples reordenação de termos uma série que converge para um valor arbitrariamente fixado, pelo que para lim_k→∞∫_Skf  ser o mesmo para as diferentes sucessões expansivas {S_k} de subconjuntos de S cuja união é S é preciso convergência absoluta. Em particular, para funções de mais de uma variável a ideia de integrais impróprios exige convergência absoluta das séries associadas.
Para integrais de Lebesgue de funções ilimitadas ou em domínios de integração ilimitados é muito mais simples (ver-se-á que para conjuntos S mensuráveis (que são uma classe de subconjuntos de ℝⁿ muito ampla) f é integrável em S se e só se |f| é integrável em S (à Lebesgue); para integrais de Riemann é falso , e.g. a função f=2d-1 em que d é a função de Dirichlet em [0,1] , pois |f|=1 é trivialmente integrável à Riemann, embora f não seja).  

Exemplo: Determinar se f é integrável em S=[0,+∞[² e, em caso afirmativo calcular o integral. f(x,y) = xy e^-x2-y2.  f é contínua em [0,+∞[²; logo, é integrável à Riemann em  [0,k]². Seja f_k=f em [0,k]² e f_k=0 fora de [0,k]²para todo k∈ℕ . 

∫_Sf_k= ∫₀^k∫₀^kxy e^-x2-y2dxdy = ( ∫₀^kx e^-x2dx )² = ( [-1/2e^-x2]₀^k )²= ((1/2[1-e^-x2])²= (1/4) [1-e^-k2] ≤1/4 . Como cada  f_k é integrável à Riemann é {f_k}⊂L(S) ;  {f_k} é uma sucessão de funções monótona crescente (em sentido lato; f_k→f em S ; {∫_Sf_k} é majorada por 1/4 . Do TCM de Levi, f∈L([0,+∞[²)  e  ∫_[0,+∞[2 f = lim_k→∞∫_Sf_k = lim_k→∞(1/4) [1-e^-k2] =1/4 . 

Dem. do TCM de Levi: Sem perda de generalidade prova-se para intervalos I . Se {f_k}⊂S(I) é crescente q.t.p. em I , como  {∫_Sf_k} é majorada, {f_k} converge q.t.p. em I , em cada ponto x em que converge  {f_k(x)} tem limite, designado f(x) , e, definindo f arbitrariamente noutros pontos, f∈U(I) , pois o conjunto D em que {f_k} diverge tem medida nula (prova-se mostrando que D_kj={x∈I:s_k(x)>j } é coberto por um número finito de intervalos com soma de volumes arbitrariamente pequeno para j suficientemente grande pois D⊂D_kj). Se {f_k}⊂U(I) é crescente q.t.p. em I ,∃ {s_kj}⊂S(I) tal que s_kj↗f_k quando j→∞ q.t.p. em I . t_k=max{s_ij: i=1,...,k}∈S(I) é crescente q.t.p. em I e ∫_St_k≤∫_Sf_k que é majorado. ∃ f∈U(I) tal que  t_k↗f quando j→∞ q.t.p. em I e ∫_It_k ≤ ∫_If (já está provado que f é integrável em I). Como s_kj≤ t_k, é f_k≤f q.t.p. em I . {f_k(x)} é crescente e majorada por f(x)∈ℝ q.t.p para x∈I ; logo ∃ g≤f tal que f_k↗g q.t.p. em I ; como t_k≤f_k é f≤g q.t.p. em I e ∫_It_k≤∫_If_k que implica ∫_If ≤lim_k→∞∫_If_k ; portanto g=f q.t.p. em I, pelo que g∈L(I) e lim_k→∞∫_If_k≤ ∫_Ig = ∫_If . Para {f_k}⊂L(I) usam-se aproximações f_k+1-f_k=u_k-v_k com u_k, v_k∈U(I), 0≤v_k q.t.p. em I e ∫_Iv_k≤2^-k e aplica-se o resultado provado em U(I) . Para {f_k}⊂L(S) é o caso anterior com I=ℝⁿ.

Observações:
(1) O TCM garante que aplicando a sucessões de funções integráveis o processo de alargamento do integral de funções em escada para funções limite superior não se obtêm funções adicionais (por isso é muito simples recordar as hipóteses deste teorema).
(2) O TCM dá um método para obter integrabilidade e calcular integral de funções que são limites q.t.p. de sucessões monótonas de funções integráveis com as correspondentes sucessões de integrais limitadas.
(3) O TCD de Lebesgue pode ser provado com várias aplicações do TCM de Levi, para o que é preciso converter a questão de limite de uma sucessão de integrais possivelmente não monótona em limites  de sucessões onótonas de integrais relacionados. É o que se tem de fazer na prova do TCD de Lebesgue a partir do TCM de Levi.

Dem. de TCD: (1) sem perda de generalidade S é um intervalo I⊂ℝⁿ; (2) encaixar g_k≤f_k≤G_k com g_k↗ e G_k↘ q.t.p. e aplicar TCM Levi, para o que é preciso provar g_k,G_k∈L(I) , o que convém fazer também aplicando o TCM Levi com sucessões G_ki↗G_k e g_ki↘g_k quando i→+∞ q.t.p. em I considerando G_k=max{f_k,f_k+1,...}, g_k=min{f_k,f_k+1,...}, G_ki=max{f_k,..., f_i}, g_ki=max{f_k,..., f_i} e aplicando às sucessões o TCM Levi (4 vezes); (3) é válido em L(I) porque f∈L(I) é f=u-v, com u,v∈U(I) ).

Corolário do TCD: Se S⊂ℝⁿ, {f_k}⊂L(S)  e f_k→f  q.t.p. em S , então  |f|≤h∈L(S) q.t.p. em S ⇒ f∈L(S) , { ∫_Sh_k } converge, e ∫_Sf = lim_k→∞∫_Sh_k , em que h_k=max(min(f_k,h),-h).
(Dem.:  Aplicação de TCD Lebesgue a h_k→f q.t.p. em S ).

Exercícios da ficha 7 e outros (aula online)

15 abril 2020, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 7: 7 (b)

Exercícios das fichas 7 e 8 (C) (aula online)

14 abril 2020, 15:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou