53ª Aula – Referência a extensão do TFCálculo para o caso geral de variedades-m em ℝn (Teorema de Stokes com formas diferenciais. Considerações finais por ser a última aula da disciplina.

29 maio 2020, 11:30 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada)

Observações: 

(1) Obtiveram-se versões do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para variedades-m em ℝⁿ nos casos m=1 e n∈ℕ (p/ integrais de linha), m=n (p/ integrais múltiplos ou T. da Divergência), m=2 e n=3 (T. de Stokes em variedades-2 em ℝ³).
Em geral, para 1≤m≤n , n∈ℕ , também há um TFC, mas tem de se considerar funções que não são campos vectoriais em ℝⁿ. Como as relações de expansão/contracção de volume-m por parametrizações g de variedades-m em ℝⁿ correspondem às várias formas de seleccionar m linhas da matriz jacobiana Dg , que é nxm , sem repetições e independentemente da ordenação é combinações de n , m a m , ou seja k=n!/(m!(n-m)!) , as funções a considerar para integração em variedades-m em ℝⁿ devem ter k componentes escalares. 
Para m=1 é k=n e, portanto. são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de integrais de linha; para m=n é k=1 e, portanto, são campos escalares que é o caso de integrais múltiplos; para m=2 e n=3 é k=3 e, portanto, são campos vectoriais em ℝ³ que é o caso de integrais em variedades-2 em ℝ³; para m=n-1 e n∈ℕ é k=n e, portanto, são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de fluxos de campos vectoriais em fronteiras de domínios regulares em ℝⁿ.
Contudo, por exemplo, para m=2 e n=4 é k=6 , e para m=2 e n=5 ou m=3 e n=5 é k=10 , e, portanto, integrais em variedades-2 em ℝ⁴ devem ser de funções com 6 componentes escalares, integrais em variedades-2 em ℝ⁵ ou em variedades-3 em ℝ⁵ devem ser de funções com 10 componentes escalares, e assim sucessivamente. Estas funções a integrar em variedades-m em ℝⁿ, para 1≤m≤n , n∈ℕ , com n!/(m!(n-m)!) componentes chamam-se formas diferenciais de ordem m ou formas-m . Como o nº de componentes reais das funções a integrar é dado por combinações de n m a m, pode ser obtido a partir do Triângulo de Pascal.

(2) A fórmula do TFC ou T de Stokes em variedades-m  em ℝⁿ é simplesmente  ∫_Aodω = ∫_∂Aoω , unificando as várias formas diferentes do TFC que considerámos e estendendo-a para variedades-m em ℝⁿ  com 1≤m≤n , válida se A é um domínio regular numa variedade-m em ℝⁿ orientável, o em A_o é uma orientação desta variedade e em ∂A_o é uma orientação da variedade-(m-1) ∂A consistente com a anterior, ω é uma forma-(m-1) C¹ no fecho de A e dω  é uma forma-m a que se chama derivada exterior de ω , cuja fórmula se pode obter analogamente a como se obtiveram a divergência e o rotacional por aplicação do T da Divergência no domínio de uma parametrização da variedade-m e considerando o operador diferencial que resulta após aplicação da parametrização no integral na variedade-m .

(3) A derivada exterior de uma forma diferencial generaliza os operadores diferenciais gradiante, rotacional e divergência dos casos particulares, resp., m=1, (m=2, n=3), (m=n). As componentes de dω no caso de ω ser uma forma-0 são as do gradiante do campo vectorial associado, se ω é uma forma-1 são as do rotacional do campo vectorial associado, se é uma forma n-1 há uma única componente que é a divergência do campo vectorial associado,

(4) A derivação exterior em conjugação com a orientação da variedade é um operador de derivação intrínseco. É invariante sob transformações de coordenadas, tal como os produtos internos do gradiante e do rotacional pela normal unitária que define a orientação considerada e a divergência. São os operadores diferenciais naturais para o cálculo integral em variedades.

(5) O T de Stokes com formas diferenciais unifica os TFC considerados anteriormente. Em particular, no caso de formas-(n-1) em ℝⁿ a derivada exterior corresponde à divergência do campo vectorial associado, no caso de formas-0 em ℝⁿ corresponde ao gradiante  e no caso de formas-1 em ℝ³ corresponde ao rotacional.

(6) Analogamente ao referido para os casos tratados, por aproximações de funções contínuas por funções C¹ ou C² obtém-se a versão geral do T. de Stokes para as correspondentes  variedades com cantos.

(7) A derivada exterior de uma forma-m é um operador diferencial intrínseco, por razão análoga da divergência e do rotacional.

(8) Define-se forma ω fechada se dω=0 , que para formas-(n-1) corresponde a campos vectoriais solenoidais e para formas-1 em ℝ³ corresponde a campos vectoriais irrotacionais (ou fechados). Define-se forma ω exacta se ω=dγ , generalizando tanto campos que são um gradiante como campos que são um rotacional. Pode-se provar de modo análogo a como se fez para campos irrotacionais ou solenoidais num conjunto em estrela que num conjunto em estrela uma forma fechada é exacta (embora, tal como anteriormente, pode haver outros conjuntos em que formas fechadas sejam necessariamente exactas).

(9) Quem estiver interessado nestes assuntos poderá estudar as pgs. 193-229 do livro Luis T. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, 2ª Edição, Texto Editora, 1999, que na parte final inclui as Equações de Maxwell para Electromagnetismo com formas diferenciais no espaço-tempo ℝ³⁺¹, que se reduzem a duas equações com derivadas exteriores de formas-2, ambas com uma parcela relativa à parte eléctrica e outra à parte magnética, uma equação linear homogénea e uma equação linear não homogénea com termo independente que é uma forma-3 com uma parcela de densidade de carga eléctrica e outra de densidade de corrente eléctrica. Referem-se a seguir sinteticamente as principais noções, que se pode ver que seguem naturalmente o que se fez para integrais múltiplos, de superfície ou de linha, e o Teorema de Stokes geral que unifica T. Divergência, T. de Green, T. de Gauss, T. de Stokes para variedades-2 em ℝ³ e generaliza-o para variedades-m em ℝⁿ com 1<m≤n .

Definição: Para cada múltiplo ordenado de I=(i₁, …, i_m) de números naturais de 1 a n, com 1≤m≤n define-se a função dx_I:(ℝⁿ)^m→ℝ tal que dx_I(v₁, …, v_m)=det V_I, em que V_I é a a submatriz mxm das colunas i₁,…i_m da matriz V que tem na linha j as componentes de v_j na base canónica de de ℝⁿ. Designa-se Λ^m(ℝⁿ) o subespaço linear do espaço linear real das funções de (ℝⁿ)^m em ℝ com as operação usuais gerado pelas funções dx_I , com I∈{1, …, n}^m. Aos elementos de Λ^m(ℝⁿ) chama-se os covectores-m (convenciona-se que covectores-0 são os números reais). Quando n=1,2 ou 3 usa-se dx=dx₍₁₎, dy=dx₍₂₎, dz=dx₍₃₎ . Designa-se [I] o conjunto dos I=(i₁, …, i_m) com i₁,…i_m∈{1, …, n} e i₁<i₂< ··· <i_m .

Observação: Os elementos de Λ^m(ℝⁿ) são funções multilineares. Diz-se que são alternantes porque trocando um par de argumentos mudam de sinal.

Proposição: {dx_I }_I∈[I] é uma base do espaço linear Λ^m(ℝⁿ) , a que se chama a base canónica deste espaço. Logo, dim Λ^m(ℝⁿ) = combinações de n m a m =n!/(m!(n-m)!).
(Dem.: É um exercício simples de Álgebra Linear,)

Definição: Chama-se produto exterior de ω∈Λ^m(ℝⁿ) por ζ∈Λ^k(ℝⁿ) a ω ∧ ζ=∑_[I],[J] ω_Iζ_Jdx_I,J∈Λ^m+k(ℝⁿ), em que a soma é sobre todos os múltiplos de índices pertencentes a [I], [J] , ω_I e ζ_J designam as componentes de, resp., ω, ζ nas bases canónicas de, resp., Λ^m(ℝⁿ) , Λ^k(ℝⁿ)  correspondentes ao vector da base canónica, resp., dx_I, dx_J, e dx_I,J= dx_L com L=(i₁, …, i_m, j₁,…j_k).
Chama-se orientação de uma base ordenada (v₁, …, v_m) de um subespaço linear de ℝⁿ a o=(v₁*∧ ··· ∧ v_m*)/|v₁*∧ ··· ∧v_m*| , em que v_j*(u) =v·u para v,u∈ℝⁿ e |v₁*∧ ··· ∧ v_m*| é o volume-m do paralelepípedo-m em ℝⁿ com arestas (v₁, …, v_m) .

Definição: Chama-se forma diferencial de grau m ou forma-m em D⊂ℝⁿ a uma função ω de D em Λ^m(ℝⁿ) (convenciona-se que um campo escalar em D é uma forma-0).

Diz-se que uma variedade-m M em ℝⁿ é orientável se existe uma forma-m o definida e contínua em M tal que o(x) é uma orientação do espaço tangente a M em x , e nesse caso diz-se que o é uma orientação de M .
Se g:V→ℝⁿ é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas M∩U de uma variedade M em ℝⁿ, chama-se orientação induzida em M∩U por g a uma orientação o de M∩U que num ponto x=g(t) é tal que o_I(x) e det Dg_I(t) têm o mesmo sinal, em que g_I=(g_i1. …, g_im).

Definição: Se M é uma variedade-m em ℝⁿ com orientação o , A⊂M é um conjunto mensurável-m e ω é uma forma-m definida em A, define-se o integral da forma diferencial ω em A com orientação o por ∫_Ao ω = ∫_A ω(x)·o(x) dV_m(x) .

Definição: Se ω=∑_[I] ω_Idx_I é uma forma-m num conjunto aberto D⊂ℝⁿ, e as funções componentes ω_I têm derivada em D, designada dω_I , a derivada exterior dω de ω é a forma-(m+1) em D dω=∑_[I] dω_I∧dx_I .

Definição: M é uma variedade-m C² em ℝⁿ com orientação o, A⊂M é um domínio regular em M, chama-se orientação de ∂A consistente com a orientação o de A a uma orientação de ∂A também designada por o tal que num ponto pertencente a uma vizinhança de coordenadas de M com parametrização g que induz a orientação o na vizinhança de coordenadas, considerando a normal unitária exterior a ∂A num ponto x∈∂A n(x) ∈T_xM ,  

Teorema de Stokes: Se M é uma variedade-m C² em ℝⁿ com orientação o, A⊂M é um domínio regular em M e ω é uma forma-(m-1) definida e C¹ em A , então ∫_Aodω = ∫_∂Aoω , em que A^o designa A com a orientação o e ∂A^o designa ∂A com a orientação consistente com a orientação o de A , que também se designa por o , mas é uma forma-(m-1) em ∂A  em vez de uma forma-m em A .  

Considerações finais:

(1) A matéria teórica da disciplina terminou praticamente na 45ª Aula. As 7 aulas seguintes (quase todas as das 2 últimas semanas), foram dedicadas a presentar exemplos de aplicações muito relevantes do T. Fundamental do Cálculo em várias variáveis, com o objectivo de ilustrar algumas das muitas aplicações do cálculo diferencial e integral de várias variáveis reais em muitas áreas de interesse e de exemplificar e exercitar a aplicação do T. Fundamental do Cálculo em variadas situações. Como exemplos que são, não fazem parte da matéria nuclear da disciplina, mas são úteis para compreender e exercitar a sua aplicação. Os detalhes de cada exemplo, em particular respeitantes da questões da Física não constituem parte da matéria para avaliação nos testes finais, embora possam ajudar a perceber os métodos de aplicação do T. Fundamental do Cálculo que podem ser necessários para responder a perguntas de aplicação do T. Fundamental do Cálculo.
Ao mesmo tempo, deu-se, assim, um período considerável para consolidação da matéria nuclear da disciplina dada anteriormente.

(2) Terminámos a disciplina. Foi, como vos disse na 1ª aula, uma disciplina intensiva com alguns tópicos difíceis que conjugou e estendeu o que tinham aprendido em Álgebra Linear e CDI1. Creio que aprenderam muito no pouco tempo que têm nos 3 anos para ficarem Licenciados ou equivalente. Penso que foi o querer aprender muito e depressa que vos trouxe para o Técnico. O que aprenderam de Matemática neste 1º ano em Álgebra Linear, CDI1 e CDI2 é extremamente útil não só nos casos concretos que foram considerados, mas também para aplicação a problemas novos, eventualmente com adaptações. Por isso, teve-se o cuidado de orientar a matéria de modo a poder criar boas bases e a estudar certos conceitos que são alicerces para métodos de grande utilidade, de uma maneira em que eventuais necessidades de generalização ou adaptação que vão encontrar possam ser feitas com alguma facilidade. Aprender só a resolver problemas que os professores ensinam a calcular com receitas para pouco serve (se pode ser feito automaticamente, é ou será um dia, feito por máquinas). Por isso é essencial aprender conceitos e métodos fundamentais e a razão de ser dos conceitos, mais do que aprender procedimentos. O que é preciso, além de dominar a matéria, é não ter medo quando surge um problema que nunca viram e tratá-lo com os métodos que aprenderam. Verão que, se assim fizerem, poderão fazer muito mais do que imaginam que seriam capazes e ir muito longe.

(3) Foi um prazer dar-vos aulas, que só foi prejudicado com a interrupção das aulas presenciais devido à epidemia do COVID19, o que impediu o nosso contacto pessoal (4 vezes por semana) demasiado cedo neste semestre.

(4) Faço votos para que tenham um bom período de estudo para as avaliações finais e que vos corram da melhor maneira, e desejo-vos os maiores sucessos futuros na vossa vida escolar e profissional.

52ª Aula – Continuação de aplicações do T. Fundamental do Cálculo para funções de várias variáveis: Revisão: T. de Green e referência a T. da Curva de Joran. Número de rotação de um caminho fechado em ℝ2 em relação a um ponto.

28 maio 2020, 13:00 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada)

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 138-141 do livro Luis T. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, 2ª Edição, Texto Editora, 1999. E exercícios correspondentes.

Observação: O nº de voltas que um caminho em ℝ² dá em torno de um ponto num mesmo sentido e esse sentido podem ser calculados com um integral de linha, e no caso de um caminho que dê algumas voltas em torno do ponto num sentido e outras no sentido oposto pode-se calcular assim a diferença entre as voltas no sentido positivo e as no sentido negativo. É uma aplicação interessante porque permite obter um número inteiro baseado em noções geométricas e topológicas analiticamente. Para esta aplicação supõe-se a validade do T. da Curva de Jordan (que não demonstrámos, mas supusemos válido) e o T. de Green (T. Fundamental do Cálculo em ℝ²).

Revisão:
(1) Há 10 aulas enunciámos (sem prova) o Teorema da curva de Jordan: Qualquer curva de Jordan (i.e. curva fechada simples) em ℝ² separa ℝ² em duas componentes conexas, uma limitada e outra ilimitada, e referimos que embora geometricamente natural e até possa parecer óbvio carece de demonstração e que esta não é fácil (as provas menos difíceis usam Topologia Algébrica ou Análise Complexa).
(2) Há 11 aulas obtivemos do Teorema Fundamental do Cálculo em ℝⁿ (T. da Divergência) o Teorema de Green: Se  D⊂ℝ² é um domínio regular, ∂D é união finita de curvas regulares simples fechadas e P,Q:(fecho de D)→ℝ são C¹,  então ∫∫_D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dxdy = ∫_∂DPdx+Qdy , em que o integral de linha no lado direito é no sentido positivo (ou contrário ao dos ponteiros do relógio) relativamente a D .

Proposição: Sejam g₁,g₂:[a,b]→ℝ² caminhos seccionalmente regulares fechados simples, C_j=g_j([a,b]) as curvas de Jordan que descrevem e A_j as componentes conexas abertas limitadas de ℝ²\C_j , para j=1,2 .  Se C₂⊂A₁, D=A₁\(fecho de A₂) e f:(fecho D)→ℝ² é um campo vectorial C¹ fechado, então ∫ f·dg₁=±∫ f·dg₂ , em que o sinal é - ou + conforme g₁,g₂ descrevem C₁, C₂ em sentidos em relação ao domínio regular D, resp., iguais ou opostos.

(Dem.: Com f=(P,Q) , do T. de Green, ∫∫_D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dxdy = ∫_∂DPdx+Qdy . Como f é fechado, o lado esquerdo é 0 e, portanto, ∫_∂DPdx+Qdy=0 . Se g₁,g₂ descrevem C₁,C₂ no mesmo sentido em relação a D (i.e. um no sentido positivo e outro no negativo em relação a um ponto em A₂) , é ∫ f·dg₁+∫ f·dg₂=0 , logo ∫ f·dg₁= - ∫ f·dg₂ . Portanto, se g₁,g₂ descrevem C₁,C₂ em sentido opostos em relação a D (i.e. ambos no mesmo sentido em relação a um ponto em A₂), é ∫ f·dg₁= ∫ f·dg₂ .)

Definição: Se g:[a,b]→ℝ² é caminho seccionalmente regular fechado simples e a=(a₁,a₂)∈ℝ² é um ponto que não pertence à curva C=g([a,b]) , chama-se número de rotação de g em relação ao ponto a a N(g,a)=(1/2π) ∫ f_a·dg , em que f_a(x)=f₀(x-a) e f₀(x,y)=(1/||(x,y)||²)(-y,x) (i.e. f_a(x,y)= (1/[(x-a₁)²+(x-a₂)²)(-(y-a₂),x-a₁)) .

Proposição: Seja g:[a,b]→ℝ² um caminho seccionalmente regular fechado simples que descreve a curva de Jordan C= g([a,b]), A a componente conexa aberta limitada de ℝ²\g([a,b]) e a∈ℝ²\g([a,b]) . Então:
(1)    Se a∈A , N(g,a)=±1 com + ou – conforme g descreve C no sentido positivo ou negativo em relação a a .
(2)    Se a∈ ℝ²\(A∪C) , N(g,a)=0 .

(Dem.: Já se tinha visto na parte final do estudo de integrais de linha que f₀ é fechado em ℝ²\{0,0)} e, portanto, f_a é fechado em S= ℝ²\{a}.
(1) Como a pertence ao conjunto aberto A , para r>0 suficientemente pequeno B_r(a)⊂A e ∂B_r(a) é um circunferência, logo uma curva regula simples contida em A , pelo que da proposição anterior, se h:[0,2π]→ℝ², h(θ)=r(cos θ, sin θ) , é N(g,a) = (1/2π) ∫ f_a·dg = ±(1/2π) ∫ f_a·dh =±1 , com sinal + ou – conforme g descreve C no sentido positivo ou negativo.
(2) Do T. de Green, com f_a=(P,Q), é ∫∫_D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dxdy = ∫_∂DPdx+Qdy , em que D é a componente conexa aberta limitada de ℝ²\C e como, neste caso, f_a é fechado no fecho de D , o integral no lado esquerdo é 0 e, portanto, N(g,a) = (1/2pi) ∫ f_a·dg =0 .)

 Observações:
(1) Com este resultado o sentido de percurso de uma curva fechada por um caminho seccionalmente regular simples em ℝ² em relação a um ponto fora da pode ser calculado por um integral de linha, assim como se a curva não contém o ponto na componente conexa limitada em que separa ℝ².
(2) Este resultado pode ser aplicado para caminhos seccionalmente regulares fechados não simples g em ℝ², incluindo os que dêem algumas voltas num sentido e outras noutro sentido em relação a um ponto a fora da curva que os caminhos descrevem, ou até também algumas voltas que não são à volta do ponto, e nesse caso N(g,a) é a diferença entre o número de voltas  em torno do ponto no sentido positivo e no sentido negativo. Em inglês chama-se winding number de um caminho fechado em ℝ².

(Depois de terminar o lançamento do sumário da última aula (53ª Aula, 29/05/2020) não a consegui visualizar como usualmente e o sistema não me permitiu repetir o lançamento. Contudo verifiquei que o sumárioficou disponível na página da disciplina para os alunos)

Exercícios das fichas 6, 9, 11 (aula online)

27 maio 2020, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ficha 6: 9

Exercícios extra (aula online)

26 maio 2020, 15:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Outros exercícios:

51ª Aula – Continuação de aplicações do T. Fundamental do Cálculo para funções de várias variáveis: Revisão: T.de Helmoltz e existência de solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em bolas de ℝn, e Propriedade de Valor Médio para funções harmónicas. Caracterização de funções harmónicas pela Propriedade de Valor Médio. Equação do movimento para a tensão de Cauchy da mecânica de meios contínuos.

26 maio 2020, 11:30 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada)

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 165-166, 150-154 do livro Luis T. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, 2ª Edição, Texto Editora, 1999. E exercícios correspondentes.

Observação: As duas últimas semanas anteriores de aulas (últimas 8 aulas anteriores) foram inteiramente dedicadas a vários exemplos muito relevantes de aplicações do T. Fundamental do Cálculo em ℝⁿ . Uma dessas aplicações, há 7 aulas, foi o T. de Helmoltz sobre existência de potencial escalar e vectorial de um campo vectorial que se revê: Se f:S→ ℝ³ é C¹ em S⊂ℝ³ aberto não é solenoidal e S é tal que a equação de Poisson lap φ=div f tem solução, então f tem potencial vectorial e escalar no sentido de ser f=rot A+grad φ .

Observação: A prova de existência de solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em bolas de ℝⁿ e a sua adaptação para a equação de Poisson enunciadas na última aula anterior garantem que o problema de Dirichlet numa bola B para a equação de Poisson lap f=ρ em B, f=u em ∂B, com ρ C¹ no fecho de B e u contínua em ∂B também se obtém existência (e já se sabia unicidade) de solução C² em B e contínua no fecho de B. Este resultado prova, com aplicação do T. de Helmoltz, que todo campo vectorial f C² no fecho de uma bola B em ℝ³ tem potencial vectorial e escalar em B . Como se observou a seguir à prova do T. de Helmoltz, é possível provar que para a equação de Poisson lap φ=div f ter solução nas condições do T. de Helmoltz é suficiente (mas não necessário) que S seja limitado e a fronteira de S seja uma variedade-2 C² em ℝ³ e que até podem ser obtidas condições suficientes mais gerais para existência de solução φ C² em S e C⁰ no fecho de S da equação de Poisson lap φ=div f no âmbito do estudo de Equações Diferenciais Parciais.

Revisão: Na penúltima aula anterior obteve-se o T. de Valor Médio para Funções Harmónicas garantindo que se u é uma função C² definida num conjunto aberto D⊂ ℝⁿ é solução da equação de Laplace, então para toda bola B=B_R(y) com fecho incluído em D é u(y) = [1/vol_n-1(∂B)] ∫_∂B u dV_n-1 .

Na última aula anterior obteve-se a Fórmula Integral de Poisson f(y) = (R²-||y||²) / [(n vol_nB₁)R] ∫_∂B u(x)/||y-x||ⁿ dV_n-1(x) para a única solução em C²(B) ∩C⁰(∂B) do problema de Dirichlet para a equação de Laplace lap f=0 em B, f=u em ∂B, com u:∂B→ℝ contínua. Com esta fórmula pode-se provar que não só as funções harmónicas C² num conjunto aberto D⊂ℝⁿ têm essa propriedade de valor médio, como qualquer função contínua em D com essa propriedade em toda bola B com fecho incluído em D é solução da equação de Laplace em D. Portanto, a Propriedade de Valor Médio caracteriza as soluções da equação de Laplace.

 Caracterização de funções harmónicas pela Propriedade de Valor Médio: Uma função contínua u de um conjunto aberto D⊂ℝⁿ em ℝ satisfaz a propriedade de valor médio u(y) = [1/vol_n-1(∂B)] ∫_∂B u dV_n-1 em toda bola B com fecho em D se e só se é solução da equação de Laplace em D.

(Dem.: Do T. de existência de solução da equação de Laplace numa bola de ℝⁿ da última aula anterior, existe uma solução f do problema de Dirichlet para a equação de lap f=0 em B, f=u em ∂B. Do T. de Valor Médio para funções Harmónicas, f satisfaz a propriedade de valor médio no enunciado e, portanto, também v=u-f a satisfaz. Como a função identicamente 0 é solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em B que é 0 em ∂B e, da unicidade de solução, v=0 em B e, portanto, u=f em B. Como f é solução da equação de Laplace em todas bolas B com fecho incluído em D, u é solução da equação de Laplace em D.)

Equação do movimento para a tensão de Cauchy da mecânica de meios contínuos

Em mecânica de meios contínuos um corpo é um subconjunto B de ℝ³ e um movimento de um corpo B é uma função injectiva C³ X:Bxℝ→ℝ³, em que B é chamada configuração de referência e X(p,t) é a posição do ponto p∈B no instante t∈ℝ . Designa-se B_t=X(B,t) o conjunto que o corpo B ocupa no instante t , e chama-se trajectória do movimento a T={(x,t): x∈B_t, t∈ℝ} .  A condição de injectividade corresponde a assegurar que não há colapso de vários pontos noutros ao longo do movimento, e a hipótese do movimento ser C³ corresponde a supor uma deformação do corpo não só contínua mas suficientemente suave para ser continuamente diferenciável até 3ª ordem, e também que a velocidade num ponto x=X(p,t) correspondente a p∈B no instante t , definida por v(x,t)=∂X(p,t)/∂t e a aceleração a(x,t)=(∂/∂t)[v(X(p,t),t)]_p=X^-1(x,t)  são continuamente diferenciáveis.

Durante o movimento as interacções mecânicas entre partes do corpo ou do corpo com o exterior são descritas por forças. Supõe-se que as as forças entre partes do corpo satisfazem a hipótese de Cauchy: existe uma densidade de força s(n,x,t) definida em cada vector unitário n∈ ℝ³ e cada (x,t) na trajectória do movimento T tal que se M é uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em B_t e n é é uma normal unitária a M num ponto x∈M , s(n,x,t) é a força por unidade de área exercida na variedade-2 M sobre o material no lado para onde n aponta pelo material no outro lado de M . Esta propriedade é muito forte; em particular, implica que a densidade de força superficial num ponto é a mesma em variedades-2 que têm o mesmo plano tangente nesse ponto.

A força total de contacto na fronteira de um domínio regular D⊂B no instante t é ∫_∂Dts(n(x),x,t) dV₂(x)  , em que n(x) é a normal unitária a ∂D_t  no ponto x∈∂D_t  para o exterior de D_t . Para simplificar notação omite-se a dependência de x,t , que fica subentendida e escreve-se a força de tracção em ∂D_t  por  ∫_∂Dts(n) dV₂ . Para pontos de ∂B_t a força de tracção na superfície do corpo em movimento é  ∫_∂Bts(n) dV_{2 ,} que é a força exterior aplicada na fronteira do corpo no instante t . O meio exterior também pode exercer forças volumétricas em pontos interiores ao corpo (e.g. gravidade) expressas por um campo vectorial de força interior (em inglês diz-se body force) b(x,t) que é a densidade de força por unidade de volume no ponto x e instante t , pelo que para cada domínio regular D⊂B a força exterior que não se deve a contacto na fronteira do corpo é  ∫_Dtb dV₃ . Se S² é o conjunto de todos vectores unitários em ℝ³, chama-se sistema de forças para o corpo B no movimento com trajectória T a um par (s,b) de funções s:S²xT→ℝ³, b:T→ℝ³ que se supõem contínuas. A força total num domínio regular D⊂B no instante t , considerando sobreposição linear, é a soma da força de superfície em ∂D_t com a força interior em D_t , ou seja f(D,t) =  ∫_∂Dts(n) dV₂ +  ∫_Dtb dV₃ .

As relações básicas entre força e movimento são as leis de conservação de momento. O momento linear de D no instante t é L(D,T) =  ∫_Dtρv dV₃, em que ρ(x,t) é uma função C² que dá a densidade de massa por volume no ponto x e instante t . A lei de conservação do momento linear de D é (dL/dt)(D,t) = f(D,t) . A conservação de massa é  ∫_Dtρ(x,t) dx = m(D_t) = ∫_D ρ₀(p) dp , em que ρ₀(p) é a densidade de massa por volume na configuração de referência. Com mudança de variáveis de integração (x,t)=X(p,t) no 1º integral obtém-se  ∫_Dtρ(X(p,t),t) |det DX(p,t)| dx = ∫_D ρ₀(p) dp . Supondo o corpo com volume constante ao longo do movimento, o vol(D_t)=vol(D) para todo t e, como as funções integrandas são contínuas, considerando domínios em B que contêm um ponto p e enconhem para este ponto e dividindo ambos os lados da igualdade precedente por vol(D) obtém-se no limite ρ(X(p,t),t) |det DX(p,t)| = ρ₀(p) . Portanto,

(dL/dt)(D,t) = (d/dt) ∫_Dtρ(x,t) v(x,t) dx = (d/dt) ∫_D ρ(X(p,t),t) v(X(p,t),t)  |det DX(p,t)| dp = (d/dt) ∫_D ρ₀(p) v(X(p,t),t) dp = ∫_D ρ₀(p) (∂/∂t)[v(X(p,t),t)] dp = ∫_D ρ(X(p,t),t) (∂/∂t)[v(X(p,t),t)] )  |det DX(p,t)| dp =  ∫_Dt ρ(x,t) a(x,t)] ) dx , em que a 2ª igualdade resulta de mudança de variáveis de integração, a 3ª da relação anterior correspondente a conservação de massa, a 4ª a aplicação da Regra de Leibniz, a 5ª a mudança de variáveis de integração e a 6ª à definição da aceleração a(x,t) . Portanto,

 ∫_Dtρa dV₃ = (dL/dt)(D,t) = f(D,t) =  ∫_∂Dts(n) dV₂ +  ∫_Dtb dV₃ , pelo que a lei de conservação de momento linear é  ∫_Dtρa dV₃ =  ∫_∂Dts(n) dV₂ + ∫_Dtb dV₃ (corresponde a Lei de Newton do movimento de uma massa pontual (força=massa x aceleração) adaptada ao movimento de um corpo em mecânica de meios contínuos.

Se x∈∂B_t e (u₁,u₂,u₃) é uma base ortonormal de ℝ³ e k é um vector unitário arbitrário tal que k·u_j>0 para j=1,2,3, e δ>0 , considerando o tetraedro T_δ com faces com normais exteriores k, -u₁, -u₂, -u₃ e arestas os segmentos de recta de x a cada x+u_j para j=1,2,3 e de x+u_j a x+u_k  para j≠k , com j,k=1,2,3, em que x é o vértice oposto à face normal a k e a distância de x a essa face é δ , para δ>0 suficientemente pequeno T_δ ⊂B_t . Como |ρa-b| é uma função contínua, do Teorema de Weierstrass tem um máximo C em T_δ e, da lei de conservação de momento linear, |  ∫_∂Dts(n) dV₂ | = |  ∫_Dt(ρa-b) dV₃ | ≤ C vol(T_δ) . A área A(δ) da face de T_δ normal a k é proporcional a δ² e vol(T_δ) é proporcional a δ³, pelo que da desigualdade precedente, [1/ A(δ)]  ∫_∂Dts(n) dV₂ → 0 quando δ→0 . Como s é contínua, o integral de s(k) sobre a face de T_δ normal a k converge para s(k,x) quando δ→0 , e analogamente o integral de s(-u_j) sobre a face normal a u_j converge para (k·u_j)s(-u_j) quando δ→0 , pelo que s(k,x)+∑_j(k·u_j)s(-u_j) = 0 e, portanto, s(k,x) = -∑_j(k·u_j)s(-u_j) . Considerando esta fórmula para k∈ℝ³, a função k↦s(k,x,t) satisfaz as condições de linearidade para k no conjunto de vectores em ℝ³ tal que k·u_j>0 para j=1,2,3 . Escolhendo bases diferentes, obtém-se que T(x,t): ℝ³→ℝ³ tal que T(x,t) (k)= -∑_j(k·u_j)s(-u_j) é uma transformação linear (uma consequência é a lei de acção e reacção de Newton s(-n,x,t) = - s(n,x,t) ). Chama-se a T(x,t)  tensor de tensão de Cauchy em (x,t) e supõe-se que a função (x,t)↦T(x,t)   é C¹. Para cada (x,t) a representação matricial de T(x,t)  na base canónica de ℝ³ é uma matriz 3x3 . Designando T_j(x,t) o vector de ℝ³  com componentes que são as componentes da linha j da representação matricial de T(x,t)  na base canónica de ℝ³, define-se div T = (div T₁, div T₂, div T₃), em que div T_j é a divergência da função x↦T_j(x,t) com t fixo (como cada div T_j é invariante com transformações de coordenadas, também div T é).

Como s(n,x,t)=T(x,t) (n) , a lei de conservação de momento linear  ∫_Dtρa dV₃ = ∫_∂Dts(n) dV₂ + ∫_Dtb dV₃ pode-se escrever  ∫_Dtρa dV₃ = ∫_∂DtTn dV₂ +  ∫_Dtb dV₃ , em que Tn representa o produto da representação matricial de T por n , ambos na base canónica de ℝ³. Do T. Fundamental do Cálculo em ℝ³ (T. da Divergência),  ∫_Dtρa dV₃ =  ∫_Dtdiv T dV₂ +  ∫_D b dV₃  e, portanto,  ∫_Dt[ρa – div T – b] dV₃ = 0 . Considerando domínios regulares D que contêm um ponto p∈B e encolhem para este ponto, como a função integranda no último integral é contínua, dividindo pelo volume de D e considerando o limite obtém-se a equação ρa – div T – b = 0 em cada ponto (x,t)∈B_t, chamada equação do movimento do corpo. É mais um importante exemplo de uma equação diferencial parcial do conjunto das leis de conservação a que pertence a equação da continuidade.

(depois de terminar o preeenchimento do sumário da última aula (53ª Aula, dia 29/05/2020) não a consegui visualizar na minha área, porque o sistema não a disponibiliza do modo usual e não me deixa repetir o lançamento, mas verifiquei que estava dispinível na página da disciplina para os alunos)