Sumários

4ª Aula - Revisão: definição de ponto isolado e de ponto de acumulação de um subconjunto de ℝn. Propriedades principais do conjunto de pontos de acumulação. Revisão de Álgebra Linear: normas em espaços lineares. Exemplos de normas ||x||∞, ||x||2, ||x||1 em  ℝ2 e ℝn, de bolas abertas correspondentes e de relações entre elas. ||x||p com 1≤p. Equivalência de normas. Revisão de Álgebra Linear: Lei do Paralelegramo - condição necessária e suficiente para uma norma ser euclidiana.

21 Fevereiro 2020, 11:30 Luis Magalhães

Revisão: Definição de ponto isolado e de ponto de acumulação de conjunto D⊂ℝn, D' é o conjunto de pontos de acumulação e D\D' o conjunto de pontos isolados de D .

Proposição: {D\D', D'∩D} é uma partição de D . Os pontos de D são em alternativa isolados ou de acumulação. 

Observação: Pontos isolados de D pertencem a D, mas pode haver pontos de acumulação de D fora de D .

Proposição: Se D⊂ℝn, então: (1) int D⊂D'⊂D; (2) (D)'=D'; (3) D\D'=D\D'⊂∂D.

Proposição: Se D⊂ℝn é finito e D≠∅, então D'=∅≠D=D=∂D (todos os pontos de D são isolados).

Proposição: Se D⊂ℝn, então:  (1) a∈D'⇔ ∀R>0BR(a)∩D é infinito;  (2) a∈D'⇔ aD\{a}; (3) D=D∪D'=∂D∪D'.

Exemplos:
(1) D={(x,y)∈ℝ2: x2+y2=1/n2, n∈ℕ}; int D=∅, ∂D=DU{0}, ext D=ℝ2\(DU{0}), D'=D=∂D.
(2) D={(x,y)∈ℝ2: x2+y2=(1-1/n)2, n∈ℕ}; int D=∅, ∂D=DU{(x,y)∈ℝ2: x2+y2=1}, ext D=ℝ2\∂D, D=∂D, D'=∂D\{0} .

Observação: As noções consideradas aplicam-se também com normas diferentes da associada ao produto interno canónico, o que é útil no estudo de funções de mais de uma variável. 

Revisão de Álgebra Linear: Definição: Norma num espaço linear V é uma função v↦||v|| de V em [0,+∞[ tal que: (1) ||cv||=|c|||v||, (2) ||u+v||≤||u||+||v||, (3) ||v||=0 ⇔ v=0 . A um espaço linear com uma norma chama-se espaço normado.

Observação: Todo espaço euclidiano (i.e. com um produto interno) é espaço normado com a norma associada a esse produto interno, mas há espaços normados que não são euclidianos (e.g. ℝn com a 1ª e a 3ª normas que se seguem).

Uma norma ||x|| num espaço linear V é euclidiana (i.e. compatível com um produto interno) se e só se para paralelogramos a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais são iguais às somas dos quadrados dos comprimentos dos lados (i.e ||x+y||2+||x-y||2=2||x||2+2||y||2 ∀x,y∈V) (Lei do Paralelogramo). A necessidade é imediata da definição de produto interno. A suficiência dá mais trabalho a provar.

Definições: normas ||x||1j|xj| , ||x||2=||x||=(Σj|xj|2)1/2, ||x||=maxj|xj|, para x=(x1,...,xn)∈ℝn.  

Exemplo: Descrição geométrica de bolas em ℝ2 nas 3 normas e verificação geométrica que B1R(a)⊂B2R(a)⊂BR(a) (que corresponde a ||x||≤||x||≤||x||1) , e BR(a)⊂B12R(a)  (que corresponde a ||x||1≤2|x||).

Proposição: ||x||≤||x||2 ≤||x||1≤n||x||, para x∈ℝn; logo, B1R(a)⊂B2R(a)⊂BR(a)⊂B1nR(a) .

Definição de normas equivalentes.

Proposição: As noções de interior, exterior, fronteira, fecho, ponto de acumulação, conjunto aberto, conjunto fechado são invariantes sob normas equivalentes. 

Proposição: As 3 normas em ℝnconsideradas são equivalentes.  

||x||p é norma euclidiana ⇔ p=2. 



3ª Aula - Continuação de noções topológicas em ℝn: conjuntos simultanemaente abertos e fechados, dependência das noções topológicas não só da geometria do conjunto mas também do espaço em que são considerados, noções de topologia, espaço topológico, conjunto aberto e vizinhança de um ponto num espaço topológico. Pontos isolados e pontos de acumulação de subconunto de ℝn. Definição de subconjunto denso num conjunto. Exemplos.

20 Fevereiro 2020, 13:00 Luis Magalhães

Exemplos: D=ℝn. int D=D , ∂D=ext D=∅ , D=D . D=ℝn é aberto e fechado. ∅=ℝn\ℝn também é aberto e fechado. 

Observação: não há outros subconjuntos de ℝn simultaneamente abertos e fechados.

Proposição: D⊂ℝn é aberto e fechado ⇔ D=ℝn ou D=∅ .

Dem.: (⇐) int ℝn=ℝn, ∂D=ext D=∅ , ℝn é aberto e fechado. (⇒) Se S≠∅ e S≠ℝn, ∃ a∈S e b∈ℝn\S . Seja Ts=sup{T∈[0,1]: a+t(b-a)∈S para 0≤t<T} (existe do axioma do supremo da definição de números reais). x=a+Ts(b-a)∈∂S . Se x∈S , S não é aberto, pelo que tem de ser x∈ℝn\S e S não é fechado. Contradição! Logo, S=∅ ou S=ℝn.

Observação: A prova usou a definição dos números reais. Em certos outros espaços pode haver outros conjuntos abertos e fechados além do espaço total e ∅ . Voltaremos ao assunto mais tarde.

Exemplo: Segmento de recta de comprimento 1 sem as extremidades, em ℝ,ℝ2,ℝ3, resp., ]0,1[, ]0,1[x{0}, ]0,1[x{0}2, é, resp. aberto, nem aberto nem fechado, nem aberto nem fechado, e tem interior, resp., ]0,1[, ∅, ∅ (noções topológicas dependem do espaço em que se considera o conjunto).

Observação: A topologia de ℝn é o conjunto de todos os subconjuntos abertos de ℝn, ou seja T={D⊂ℝn: D=int D}. 

Definição: Uma topologia num conjunto X≠∅ é um conjunto T de subconjuntos de X tais que: 
(1) X,∅∈T, 
(2) uniões de elementos de T pertencem a T, 
(3) intersecções finitas de elementos de T pertencem a T. 

Um conjunto X≠∅ com uma topologia em X chama-se espaço topológico. 

Definição: Um subconjunto S de um espaço topológico com topologia T diz-se aberto se pertence a T. Uma vizinhança de um ponto de um espaço topológico é qualquer aberto que contém o ponto.

Observação: É neste contexto que se podem considerar noções topológicas em espaço sem a noção de distância.

Definição: Ponto isolado de D⊂ℝn (∃R>0BR(a)∩D={a}), ponto de acumulação de D (∀R>0(BR(a)\{a})∩D≠∅). D'=conjunto dos pontos de acumulação de D.  

Proposição: Se D⊂ℝn, D\D'=conjunto dos pontos isolados de D (se a∈D, não é ponto isolado de D ⇔ a∈D'). 

Exemplos: Em ℝ: (1) {1/n:n∈ℕ}, (2) ℕ, (3) ℚ, (4) ℝ\ℚ . (1) e (2) são conjuntos de pontos isolados. (3) e (4) não têm pontos isolados. (1) tem 1 só ponto de acumulação, que é o 0 , (2) não tem pontos de acumulação, os pontos de acumulação de (3) e (4) são todos os números reais. Apesar de #ℝ\ℚ>#ℚ , é (ℝ\ℚ)'=ℚ'=ℝ e, também, ℝ\ℚ = =ℝ ; ℝ\ℚ e ℚ não são abertos nem fechados.

Definição: Diz-se que S⊂D é denso em D se S=D .

Observação: ℚ e ℝ\ℚ são densoos em ℝ .


Exercícios da ficha 1

19 Fevereiro 2020, 12:00 Manuel Paulo de Oliveira Ricou

a, d, e, f, h, k, m


Exercícios da ficha 1

18 Fevereiro 2020, 15:30 Manuel Paulo de Oliveira Ricou

a, d, e, f, g, h, i, k


2ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Continuação de noções topológicas em ℝn.

18 Fevereiro 2020, 11:30 Luis Magalhães

Revisão dos aspectos principais da aula anterior.

Exemplos: Conjuntos infinitos abertos com intersecções de cada um dos casos: (a) conjunto fechado,  (b) conjunto aberto, (c) conjunto nem aberto nem fechado. E analogamente para uniões de Infinitos conjuntos fechados.

Proposição: Intersecções finitas de subconjuntos abertos de ℝn são conjuntos abertos, uniões finitas de subconjuntos fechados de ℝn, são conjuntos fechados.

(Dem. Se  A e B são conjuntos abertos, para cada x∈A∩B ∃ rA,rB>0: BrA(x)⊂A e BrB(x)⊂B . Com r=min{rA,rB} é Br(x)⊂A∩B , pelo que x∈int A∩B. Logo, A∩B⊂int A∩B e, portanto, A∩B é aberto. Para qualquer conjunto finito de subconjuntos abertos prova-se por indução com o que se provou para 2 conjuntos. Para uniões finitas de subconjuntos fechados o resultado segue das leis de De Morgan e dos conjuntos fechados serem os complementares de conjuntos abertos.)

Proposição:
(1) Para D⊂ℝn, int D e ext D são  abertos, ∂D e D são fechados; 
(2) Para D⊂ℝn, int D é o maior aberto contido em D, ext D é o maior aberto contido em ℝn\D,  D é é o menor fechado que contém D. ; 

(Dem. (1) Se x∈int D , ∃r>0: Brx(x)⊂D, int D = Ux∈int DBrx(x) , que é uma união de abertos e, portanto, aberto. ext D=int(ℝn\D), pelo que é aberto. Como {int D, ext D, ∂D} é partição de ℝn, ∂D=ℝn\[(int D)U(ext D)] e, como int D e ext D são abertos também (int D)U(ext D) é, pelo que ∂D é fechado. Como D=(int D)U∂D , analogamente, ℝn\D=ext D , que é aberto, e, portanto D é fechado.
(2) Se S⊂D e S é aberto, S=int S⊂int D . Para ext D aplica-se o anetrior substituindo D por ℝn\D . Se S⊃D e S é fechado, ext S⊂ext D e, da partição de ℝn {int D, ext D, ∂D}, S=SD .

Exemplos: Determinação de int D, ext D, ∂D, D, e identificação de conjuntos abertos, conjuntos fechados, e conjuntos nem abertos nem fechados em exemplos concretos com D⊂ℝ2.