Aula não realizada

17 março 2020, 15:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Aula não realizada, a ser recuperada

16ª Aula - T. de Weierstrass (campos escalares contínuos em conjuntos limitados e fechados). Exemplos de determinação de extremos na fronteira do domínio, e de continuum de pontos de sela ou de extremos. Rrevisão de funções de 1 variável: Fórmula de Taylor de ordem k para funções reais de variável real e aplicação a obter condições suficientes para máximo ou mínimo relativos com base na 2ª derivada. Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares, e particularização para 2ª ordem com matriz hessiana. Relação de condição suficiente para ponto de estacionaridade ser de max. (resp., min.) se a matriz hessiana é definida negativa (resp., positiva).

17 março 2020, 11:30 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada) 

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 90-97 do livro Gabriel E. Pires, Cálculo Diferencial e Integral em ℝn, IST Press, 2012., e exercícios correspondentes.

Definições: D⊂ℝⁿ é limitado se existe R>0 tal que D⊂B_R(0). Chama-se intervalo em ℝⁿ a um produto cartesiano de n intervalos de números reais.

Teorema de Weierstrass:  Campos escalares f contínuos em subconjuntos limitados e fechados ∅≠D⊂ℝⁿ assumem máximo e mínimo (absolutos).

(Dem.: Argumento por absurdo e subdivisão ao meio sucessiva das arestas de intervalo limitado I⊃D para provar que f é limitada em D : se f não fosse limitada, existiria sucessão {I_k} de intervalos ℝⁿ com arestas com comprimento metade do das correspondentes arestas do intervalo precedente tal que f seria ilimitada em I_k∩D, e existiria a∈ℝⁿ tal que ∩_k∈ℕI_k={a} (em consequência do axioma do supremo da definição axiomática de ℝ aplicado às sucessões que são extremos de arestas correspondentes dos ntervalos I_k) ; como I_k∩D≠∅ para todo k∈ℕ, a pertenceria ao fecho de D, e como este é fechado  a∈D ; logo, f seria contínua em a e, portanto, existiria uma bola  B_r(a)  tal que f é limitada em B_r(a)∩D ; para k suficientemente grande I_k⊂B_r(a)  e, em consequência, f seria limitada em I_k, em contradição com a escolha dos intervalos I_k; portanto, f é limitada. Prova-se que f assume um máximo (como em CDI1) aplicando o que se obteve à função contínua (sup _Df-f) ^-1 sob a hipótese de sup _Df não ser assumido por f que leva a contradição; prova de f assumir o mínimo por a função contínua -f assumir o máximo). 

Observação: No livro do Professor Gabriel Pires acima referido é usada a designação conjunto compacto para um conjunto limitado e fechado. Não utilizamos essa identificação porque se reserva a designação de conjunto compacto para um conceito topológico mais geral muito útil que consideraremos noutras aulas (apesar de no contexto que se considerará nem todos os conjuntos limitados e fechados serem compactos, em dimensão finita os conjuntos compactos identificam-se com os conjuntos limitados e fechados, pelo que quando se fala de um sunconjunto limitado e fechado de ℝⁿ está-se a falar de um subconjunto compacto de ℝⁿ, mas o essencial da noção de conjunto compacto e a razão da sua grande utilidade não é só ser fechado e (em espaços métricos) limitado. como se verá em aulas seguintes.

Exemplos: (1) Continuação do exemplo da aula anterior: f(x,y)=xy-x²y-xy²=xy(1-x-y) , mas agora com g a restrição de f a D=[-1,1]². Do T. de Weerstrass para extremos de funções contínuas, g tem máximo e mínimo (nota: viu-se na aula anterior que f não tem mínimo relativo em ℝ²). Obteve-se na aula anterior que em ℝ² f tem pontos de sela (0,0), (1,0) e (0,1) e máximo relativo em (1/3,1/3) com valor 1/27 e não tem outros pontos de estacionaridade. Para g também é assim, mas podem ocorrer extremos em ∂D, pelo que é preciso estudar g em vizinhanças de pontos em ∂D . g(1,y)=-y² e a restrição de g a {1}x[-1,1] tem um máximo em (1,0) e mínimos em (1,-1) e (1,+1) . g(-1,y)=y(y-2) , pelo que a restrição de g a {-1}x[-1,1] é estritamente decrescente em função de y e, portanto, tem um máximo em (-1,-1) e um mínimo em (-1,+1) . Devido às simetrias f(x,1)=f(1,x) e f(x,-1)=f(-1,x) (simetria em relação à recta y=x) fica-se a saber a restrição de g aos outros lados do quadrado D . Portanto, os pontos de ∂D candidatos a pontos de extremos de g são:  (-1,-1),  (1,0) , (0,1) candidato a ponto de máximo, e (1,-1), (1,+1), (-1,1) candidatos a pontos de mínimo. (1,0) e (0,1) são pontos de sela de f e viu-se na aula anterior que qualquer vizinhança de um (1,0) em que g(1,0)=0 contém pontos (x,y) com 0<x<1 e -1<y<0 ,  em que g é negativa, e pontos de T em que g é positiva, pelo que g não tem extremo em (1,0) e, por simetria, também não tem em (-1,0) . g(1,-1)=g(1,+1)=g (-1,1)=-1 ; como, do T. de Weierstrass g tem um mínimo em D e como g=f em int D não tem mínimo em int D, g tem mínimo absoluto -1 nos pontos (1,-1), (1,+1), (-1,1) . g(-1,-1)=3>1/27, pelo que g o máximo absoluto de g é no ponto (-1,-1) . Em resumo: a restrição g de f ao quadrado [-1,1]² tem máximo absoluto 3 em (-1,-1) , mínimo absoluto -1 nos pontos (1,-1), (1,+1), (-1,1) e um máximo relativo não absoluto 1/27 em (1/3,1/3) . O contradomínio de g é g([-1,1]²)=[-1,3] .

(2) Considera-se a função real de duas variáveis reais f(x,y)=|x²+y²-1| , que tem domínio ℝ² e é C^∞ em ℝ²\ ∂B₁((0,0)) e contínua em ℝ²; f≥0 em ℝ² e f(x,y)=0 ⇔  (x,y)∈∂B₁((0,0)) . Logo, f tem mínimo absoluto 0 em cada ponto da circunferência ∂B₁((0,0)) . ∇ f(x,y)=sgn(x²+y²-1)2(x,y) para (x,y)∉∂B₁((0,0)) . (∂f/∂x)₊(1,0)=2 , (∂f/∂x)(1,0)=-2 ; logo, ∂f/∂x não existe em (1,0) e como f tem simetria circular em relação a (0,0) , ∇ f(x,y) não existe para (x,y)∈∂B₁((0,0)) ; logo, f não é diferenciável na circunferência ∂B₁((0,0)) ; portanto, o domínio de diferenciabilidade de f é ℝ²\ ∂B₁((0,0)) . Os pontos de estacionaridade de f são as soluções de ∇ f(x,y)=(0,0) que tem a única solução (0,0) . Como f é contínua no fecho de B₁((0,0)) , do T. de Weierstrass para extremos de funções contínuas f tem máximo e mínimo no fecho de B₁((0,0)) ; como f>0 em B₁((0,0)) e f=0 em ∂B₁((0,0)) , f tem mínimo absoluto 0 nos pontos de ∂B₁((0,0)) , pelo que o máximo é assumido em B₁((0,0)) ; como f é diferenciável neste conjunto, é assumido num ponto de estacionaridade de f , e como o único tal ponto é (0,0) , este é o único ponto de máximo relatvo de f . f(2,0)=3>1=f(0,0) ; logo, o máximo relativo de f não é absoluto. Como lim_x→+∞f(x,y)=+∞ e f é contínua em ℝ², do Teorema de Bolzano o contradomínio de f é [0,+∞[ (exercício: esboce o gráfico de f e alguns conjuntos de nível com cotas igualmente espaçadas). Neste exemplo, a função assume o valor mínimo num continuum que é circunferência com raio 1 e centro em (0,0) e tem a cardinalidade de ℝ,

(3) O conjunto dos pontos de estacionaridade da função real de duas varáveis reais f(x,y)=x³ é o eixo dos yy de ℝ². À esquerda deste eixo f<0 e à direita f>0 ; logo, os pontos de estacionaridade são pontos de sela. Geometricamente são uma recta que é um continuum de pontos de sela.

Revisão de funções reais de variável real: 
(1) Fórmula de Taylor de ordem k (k∈ℕ) na vizinhança de 0 para função real de variável real g:I→ℝ, com I⊂ℝ intervalo aberto, 0∈I e g com derivada k+1 em I, com resto de Lagrange: g(t)=Σ^k_j=0 (1/j!) g^(j)(0) t^j + (1/(k+1)!) g^(k+1)(t*) t^k+1, para algum t* entre 0 e t , para |t| suficientemente pequeno.
(2) Aplicação da Fórmula de Taylor de 2ª ordem para função real de variável real g:I→ℝ, com I⊂ℝ intervalo e g diferenciável em int I , para obter condições suficientes de máximo relativo (g'(c)<0) ou mínimo relativo (g'(c)>0) em ponto de estacionaridade c∈int I (g'(c)=0) . Exemplos de que se g''(c)=g'(c)=0 com análise de 2ª ordem nada se pode concluir, pois c pode ser ponto de máximo, mínimo ou inflexão (neste caso é preciso estudar mais detalhadamente a função, incluindo a possibilidade de utilizar Fórmula de Taylor de ordem superior, mas não necessariamente. Motivação para consideração de testes de 2ª ordem para obter condições suficientes de classificação de extremos de campos escalares.

Fórmula de Taylor de ordem k para campos escalares: Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C^k+1 em B_R(a)⊂D , h=(h₁, ... , h_n)∈ℝⁿ, ||h||<R , com R>0 , então
f(a+h) = Σ^k_j=0 (1/j!) Σ^k _(i1,...,i_j)∈{1,...,n}^j  D_i1,...,i_j f(a) h_i1···h_ij + ||h||^kE_k(a,h) , com E_k(a,h)→0 quando h→0 .

(Dem.: Fórmula de Taylor de ordem k para a função real de variável real g(t)=f(a+th) na vizinhança de 0 com resto de Lagrange, e prova de E_k(a,h)→0 quando h→0 usando Teorema de Weierstrass para majorar os módulos das derivadas parciais de ordem k+1).

Observação: É possível enfraquecer a hipótese para f C^k, mas não se prova aqui.

Definição: Matriz hessiana de campo escalar f em ponto a em que existem todas as derivadas de 2ª ordem: H_f(a)=[D_ijf(a)]_i,j=1^n,n.

Fórmula de Taylor de 2ª ordem para campos escalares: .Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, f é C³ em B_R(a)⊂D, h∈ℝⁿ, ||h||<R  (foi estabelecida com resto de Lagrange usando C³ mas também válida se f é C²) , então f(a+h) - f(a) = Df(a)h + (1/2) h^t H_f(a) h + ||h||²E₂(a,h) , com E₂(a,h)→0 quando h→0 .

Observação: Se n=2 , em coordenadas x,y a fórmula de Taylor em (0,0) de f C^k é:
(De 1ª ordem, para k≥1): f(x,y) = f(0,0) + D₁f(0,0) x + D₂f(0,0) y + ||(x,y)|| E₁((0,0),(x,y)) , E₁((0,0),(x,y))→0 quando (x,y)→(0,0) .
(De 2ª ordem, para k≥2): f(x,y) = f(0,0) + D₁f(0,0) x + D₂f(0,0) y + (1/2) [D₁₁f(0,0) x² + 2 D₁₂f(0,0) xy + D₂₂f(0,0) y² ] + ||(x,y)||²E₂((0,0),(x,y)) , E₂((0,0),(x,y))→0 quando (x,y)→(0,0) .
(De 3ª ordem, para k≥3): f(x,y) = f(0,0) + D₁f(0,0) x + D₂f(0,0) y + (1/2) [D₁₁f(0,0) x² + 2 D₁₂f(0,0) xy + D₂₂f(0,0) y²  ] + (1/3!)[D₁₁₁f(0,0) x³ + 3 D₁₁₂f(0,0) x²y + 3 D₁₂₂f(0,0) xy² + D₂₂₂f(0,0) y³ ] + ||(x,y)||³E₃((0,0),(x,y)) , E₃((0,0),(x,y))→0 quando (x,y)→(0,0) . 
Cada termo é análogo ao binómio de Newton (a+b)^k = Σ^k_j=1C^k_j a^k-jb^j , em que  C^k_j designa combinações de k j a j , que podem ser obtidas do Triângulo de Pascal.

Observação: Como para 1 variável real, num ponto de estacionaridade a de f o termo linear é nulo, e se o termo quadrático é >0 (resp., <0) para todo h≠0 , como para h suficientemente pequeno este termo domina o termo de erro, f tem um mínimo (resp. máximo) relativo em a . 

Proposição: Para que um ponto de estacionaridade a de um campo escalar C² numa bola aberta centrada em a ser ponto de mínimo relativo, máximo relativo, sela é suficiente que a matriz hessiana, que devido ao Lema de Schwarz é simétrica por f ser C², seja, resp., definida positiva, definida negativa, indefinida 

Dem.: se H_f(a) é definida positiva, aplica-se da Fórmula de Taylor de 2ª ordem e do T. de Weierstrass aos termos de 2ª ordem sobre o conjunto dos vectores de norma 1; se H_f(a) é definida negativa, aplica-se o anterior a -f ; se H_f(a) é indefinida, ∃h₁,h₂≠0 com h₁^tH_f(a)h₁>0 e h₂^tH_f(a)h₂<0 e o mesmo argumento garante que para h₁,h₂ suficientemente pequenos f(a+h)-f(a) é >0 e <0 para (resp.) h igual a h₁ e h₂ ).

Observação: Com as mesmas hipóteses, se a matriz hessiana é semidefinida positiva ou negativa, o teste de 2ª ordem para classificação de pontos de estacionaridade é inconclusivo (no 1º caso poderia ser ponto de mínimo ou de sela, e no 2º caso ponto de máximo ou de sela); para tentar classificar é preciso estudar com mais detalhe a função na vizinhança do ponto (o que pode ou não recorrer a derivadas de ordem superior).

15ª Aula - L. de Schwarz para derivadas parciais de ordem >1. Funções Ck e C∞ e L. de Schwarz para funções Ck. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e aplicação da regra de derivação da função composta para determinar derivadas parciais de campos escalares num destes sistemas de coordenadas. Introdução a determinação de extremos de campos escalares. Exemplo de classificação de pontos de estacionaridade (pontos de máximo, mínimo ou sela) analisando a função na vizinhança do ponto de estacionaridade ou com T. de Weierstrass, e motivação para condições com derivadas de 2ª ordem. Condição necessária para existência de extremo relativo de campo escalar para que existem todas derivadas parciais de 1ª ordem (pontos de estacionaridade interiores ao domínio ou pontos fronteiros). T. de Weierstrass (campos escalares contínuos em conjuntos limitados e fechados): a provar na aula seguinte..

16 março 2020, 11:30 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada) 

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 85-89  do livro Gabriel E. Pires, Cálculo Diferencial e Integral em ℝn, IST Press, 2012., e exercícios correspondentes.

Definição e notações para derivadas parciais de ordem k∈ℕ de campos escalares ou vectoriais: Para  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ,  D_{j 1j 2··· jk}f(a) = D_j 1[ D_j 2[ ... D_j kf ] ... ] ] ] (a) , ∂^kf/(∂x_j 1∂x_j 2··· ∂x_j k) (a) = ∂/(∂x_j 1)[∂/(∂x_j 2)[ ... [∂f/(∂x_j k)] ... ] ] ] (a) , j₁, j₂, ... , j_k∈{1,2, ... , n}  (a notação clássica era com a ordem inversa -- 1º as derivadas que se calculam 1º em vez da ordem de composição de funções aqui adoptada -- pelo que em cada texto é preciso ver qual é a notação usada).

Observação: Na notação acima pode haver repetição de índices, mas se j₁, j₂, ... , j_k são distintos, há k! derivadas em relação às mesmas variáveis por ordens diferentes. O Lema de Schwarz reduz imenso o nº de derivadas parciais a calcular quando pode ser aplicado.

Definição: Se  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ aberto, diz-se que f é C^k, com k∈ℕ (f é continuamente diferenciável até ordem k) se todas as derivadas parciais de f até ordem k, inclusivé, existem e são contínuas em D ; diz-se que f é C^∞ ou indefinidamente diferenciável e se é C^k para todo k∈ℕ ; se D não é aberto, diz-se que é C^k em D (k∈ℕ ou k=∞) se existe uma extensão F de f a um aberto que contém D tal que F é C^k.

Lema de Schwarz para derivadas parciais de ordem k em n variáveis (versão simplificada): Se  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ, é C^k, então as derivadas parciais até ordem k, inclusivé, são invariantes sib permutações das variáveis de derivação 

(Dem.: Sem perda de generalidade consideram-se campos escalares, aplicação sucessiva de trocas de pares de variáveis e do Lema de Schwarz para derivadas parciais de 2ª ordem com 2 variáveis). 

Observação: Comparando com o Lema de Schwarz para derivadas parciais de 2ª ordem com 2 variáveis da aula precedente vê-se que é possível considerar hipóteses menos restritivas.

Revisão: Regra de derivação da função composta, mostrando como se pode calcular uma derivada parcial da composição de funções sem ter de calcular as matrizes jacobianas e as multiplicar.

Exemplos: f:D_f→ℝ^m, D_f⊂ℝⁿ, a∈int D_g, g:D_g→ℝⁿ, D_g⊂ℝ^p, g(a)∈int D_f .
(1) m=p=1, n>1: (f∘g)'(t) = [ (∂f)/(∂x₁)  ··· (∂f)/(∂x_n) ]_g(t)g'(t) = ∇f[g(t)]·g'(t) = [(∂f)/(∂x₁)][(∂X₁)/(∂t)] + ··· + [(∂f)/(∂x_n)][(∂X_n)/(∂t)] , com as componentes de g=(X₁, ..., X_n), as (∂f)/(∂x_i) calculadas em g(t) e as (∂X_i)/(∂t) calculadas em t , para i∈{1, ..., n} .
(2) m=1, p=2, n>1: D(f∘g)(a) = [ (∂f)/(∂x₁)  ··· (∂f)/(∂x_n) ]_g(a) [ (∂X_i)/(∂u_j) ]_i,j=1^n,2= [ ∑_i [(∂f)/(∂x_i)][(∂X_i)/(∂u₁)     ∑_i [(∂f)/(∂x_i)][(∂X_i)/(∂u₂) ] , com as componentes de g=(X₁, ..., X_n), as (∂f)/(∂x_i) calculadas em g(a) e as (∂X_i)/(∂u_j) calculadas em a , para i∈{1, ..., n}, j∈{1,2} .      

Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas e aplicação da regra de derivação da função composta para determinar uma qualquer das derivadas parciais de um campo escalar diferenciável num destes sistemas de coordenadas em termos das derivadas parciais do campo em coordenadas cartesianas. Ilustração geométrica e conjuntos de singularidade destas transformações de coordenadas.

(1) Coordenadas polares em ℝ²: x = r cos θ , y = r sin θ , (r,θ) ∈ [0,+∞[ x [0,2π[ . A correspondência é biunívoca excepto para r=0 (i.e. (x,y)=(0,0)) . Singularidades (descontinuidade ou não diferenciabilidade da transformação ou da sua inversa): r=0 ou θ=0 (i.e. (x,y) ∈ [0,+∞[ x {0} , uma semirecta fechada) .

Se F:ℝ²→ℝ é diferenciável e em coordenadas polares f(r,θ)=F(r cos θ , r sin θ ) , é (∂f)/(∂r) = (∂F)/(∂x) (cos θ) + (∂F)/(∂y) (sin θ) , (∂f)/(∂θ) = (∂F)/(∂x) (-r sin θ) + (∂F)/(∂y) (r cos θ)  , com (∂F)/(∂x), (∂F)/(∂y) calculadas no ponto ( r cos θ , r sin θ ) .

(2) Coordenadas cilíndricas em ℝ³: x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , z=z , (ρ,θ,z) ∈ [0,+∞[ x [0,2π[ x ℝ . A correspondência é biunívoca excepto para ρ=0 (i.e. (x,y,z)=(0,0,z) , z∈ℝ) . Singularidades: ρ=0 ou θ=0 (i.e. (x,y,z) ∈ [0,+∞[ x {0} x ℝ , um semiplano fechado) .

Se F:ℝ³→ℝ é diferenciável e f(ρ,θ,z)=F(r cos θ , r sin θ , z) , é (∂f)/(∂ρ) = (∂F)/(∂x) (cos θ) + (∂F)/(∂y) (sin θ) , (∂f)/(∂θ) = (∂F)/(∂x) (-ρ sin θ) + (∂F)/(∂y) (ρ cos θ) , (∂f)/(∂z) = (∂F)/(∂z) , com (∂F)/(∂x), (∂F)/(∂y), (∂F)/(∂z) calculadas no ponto ( r cos θ , r sin θ , z ) .

(3) Coordenadas esféricas em ℝ³: x = r(cos θ)(sin φ), y = r(sin θ)(sin φ) , z= r cos φ , (r,θ,φ) ∈ [0,+∞[ x [0,2π[ x [0,π] . A correspondência é biunívoca excepto para r=0 (i.e. (x,y,z)=(0,0,0) , z∈ℝ) . Singularidades: r=0 ou θ=0 ou  (i.e. (x,y,z) ∈ [0,+∞[ x {0} x ℝ , um semiplano fechado) .

Se F:ℝ³→ℝ é diferenciável e f(r,θ,φ)=F(r(cos θ)(sin φ) , r(sin θ)(sin φ) , r cos φ) , é (∂f)/(∂r) = (∂F)/(∂x) (cos θ)(sin φ) + (∂F)/(∂y) (sin θ)(sin φ) +  (∂F)/(∂z) (cos φ) , (∂f)/(∂θ) = (∂F)/(∂x) (-r sin θ)(sin φ)  + (∂F)/(∂y) (r cos θ)(sin φ)  , (∂f)/(∂φ) =  (∂F)/(∂x) (r cos θ)(cos φ)  + (∂F)/(∂y) (r sin θ)(cos φ) + (∂F)/(∂z) (-r sin φ) , com (∂F)/(∂x), (∂F)/(∂y), (∂F)/(∂z) calculadas no ponto ( r(cos θ)(sin φ) , r(sin θ)(sin φ) , r cos φ ) .

Transformação de coordenadas cartesianas para esféricas e cálculo de derivadas parciais em coordenadas esféricas.

Determinação de extremos de campos escalares:

Observação: Como para 1 variável (secundário e CDI1) derivadas são úteis.

Revisão: Se g:I→ℝ, I⊂ℝ intervalo aberto, é diferenciável, g tem extremo (max. ou min.) relativo em a∈I ⇒ g'(a)=0 (ponto de estacionaridade).

Definições: Pontos de máximo relativo, mínimo relativo, extremo relativo, máximo absoluto, mínimo absoluto de campos escalares. Ponto de estacionaridade de campo escalar f (f'(a)=0 ou ∇f(a)=0) . Ponto de sela de campo escalar f (ponto de estacionaridade a tal que em qualquer bola aberta nele centrada f assume valores maiores e menores do que o f(a) .

Observação: Há quem chame a ponto de estacionaridade ponto crítico (e.g. livro do Professor Gabriel Pires), mas nós reservamos esse nome para uma noção mais geral. Na leitura de textos é preciso ver qual é a definição que é dada para ponto crítico.

Proposição: Para um campo escalar f ter extremo num ponto interior ao domínio em que todas as derivadas parciais de 1ª ordem existem é necessário que o ponto seja de estacionaridade de f 
(Dem. Restrições a rectas paralelas aos eixos coordenados definem funções reais de variável real diferenciáveis com extremo no ponto correspondente e aplicação do resultado para estas funções de 1 variável real).

Observações: 
(1) Esta condição é necessária, mas não é suficiente, pois o ponto pode ser de inflexão em dim=1 ou de sela em dim>1 (e.g. (0,0) para f(x,y)=xy ).
(2) Extremos relativos de campos escalares que têm todas derivadas parciais de 1ª ordem em int D , com D⊂ℝⁿ, só podem ocorrer em pontos de estacionaridade de int D ou em pontos de ∂D (como já se viu em 1 variável no secundário e em CDI1).

Exemplo: Determinação de extremos e pontos de sela de função de 2 variáveis reais f(x,y)=xy-x²y-xy². É função diferenciável em ℝ², pois é um polinómio de 2 variáveis reais. (∂f)/(∂x)(x,y)=y-2xy-y²; como f tem a simetria de ser invariante trocando x com y, (∂f)/(∂y)(x,y)=x-2xy-x², ∇f(x,y)=0 ⇔ y(1-2x-y)=0 , x(1-2y-x)=0 ⇔ [(y=0 ou 2x+y=1) e (x=0 ou 2y+x=1)] (as equações no último termo das equivalências são dos eixos coordenados e de 2 rectas que intersectam os eixos coordenados nos pontos do conjunto, resp., {(1/2,0), (0,1)} e {(0,1/2), (1,0)} ); logo, os pontos de estacionaridade são (0,0), (1,0), (0,1), (1/3,1/3) (são os pontos de intersecção das rectas referidas). É preciso identificar se são de max., min. ou sela. como f(xy)=xy(1-x-y) , o conjunto de nível 0 de f é f^-1({0})={(x,y)∈ℝ²: xy=0 ou x+y=1} (a união dos eixos coordenados com a recta queos intersecta em (1,0) e (0,1)) ; estas rectas delimitam um triângulo T ; em int T f>0 e f alterna de sinal cada vez que se passa exactamente de um lado de uma dessas rectas para o outro (e numa vizinhança suficientemente pequena de cada ponto de intersecção dessas rectas o sinal de f alterna entre sectores contóguos definidos por essas rectas); os pontos de intersecção dessas rectas, i.e. os vértices de T,  são (0,0), (1,0), (0,1), pelo que estes pontos são pontos de sela. Resta analisar o ponto de estacionaridade (1/3,1/3) . Pode-se prosseguir de 3 maneiras: 

(1) Teste de 2ª ordem em 2 variáveis (é preciso Fórmula de Taylor de 2ª ordem em várias variáveis, a considerar em aula seguinte).

(2) Análise algébrica na vizinhança de (1/3,1/3) .

(3) Utilizando o Teorema de Weierstrass para extremos de funções contínuas: Se f:D→ℝ é contínua com ∅≠D⊂ℝⁿ limitado e fechado, então f assume máximo e mínimo (absolutos) em D (a prova é dada na aula seguinte).

Com (3): A restrição de f ao fecho de T é uma função contínua num conjunto limitado e fechado, pelo que f≥0 tem máximo e mínimo neste conjunto. f=0 na fronteira de T, pelo que estes são pontos de mínimo da restrição de f a T e o máximo ocorre em int T, que tem de ser um ponto de estacionaridade de f ; como o único ponto de estacionaridade de f em int T é (1/3,1/3) , este é um ponto de máximo relativo de f e não há outros.

O valor máximo é f(1/3,1/3)=1/27. f não tem mínimo relativo em ℝ², pois os pontos de estacionaridade são de sela ou e máximo. Como os valores de f sobre a recta y=x são os valores de f(x,x)=x²-2x³=x²(1-2x) e lim_x→+∞f(x,x)=+∞, o máximo relativo em (1/3,1/3) não é absoluto. Como  lim_x→-∞f(x,x)=-∞ , do Teorema de Bolzano de funções de 1 variável (de CDI1) f assume todos os valores reais, pelo que o contradomínio de f é f(ℝ²)=ℝ .

Com (2): int T é a união dos segmentos de recta S_a={ (x,y)∈ℝ²:x+y=a , x,y>0} com, 0<a<1 .A restrição de f a S_a é f_a(x,y)=x(a-x)(1-a) com 0<x<a que assume um máximo para x=a/2 com valor g(a) = max f_a= f_a(a/2,a/2) = (a²/4)(1-a) . Como g'(a)=(a/2)[1-(3/2)a] , max g_a ocorre em a=2/3 e é um máximo absoluto estrito com valor max g_a=1/27. Logo, em T\{(1/3,1/3} é f<1/27 e, portanto, a restrição de f a T tem um máximo absoluto em (1/3,1/3) e f tem um máximo relativo nesse ponto.

Este é um exemplo com pontos de sela, um máximo relativo, sem mínimos relativos nem extremos absolutos. 

Aula não realizada

16 março 2020, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Aula não realizada, a ser recuperada

14ª Aula - Revisão: T. de Lagrange e aplicações. Derivadas parciais de 2ª ordem: definição, notações e exemplos. T. de valor médio em ℝ2 com  derivadas de 2ª ordem. Existência e igualdade das derivadas parciais de 2ª ordem em relação a 2 variáveis diferentes se uma existe e é contínua e a 1ª derivada parcial considerada na outra derivada parcial de 2ª ordem existe (Lema de Schwarz).

13 março 2020, 11:30 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada) 

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs.  83-89 do livro Gabriel E. Pires, Cálculo Diferencial e Integral em ℝⁿ, IST Press, 2012., e exercícios correspondentes. 

Revisão: Aplicações do Teorema de Lagrange (Teorema de valor médio do cálculo diferencial) para campos escalares f num segmento de recta contido no interior do dominio de diferenciabilidade de f (não é válido para campos vectoriais!): 
(1) Campos escalares ou vectoriais em conjuntos abertos D conexo por poligonais têm derivada nula se e só se são contantes.
(2) Campos escalares ou vectoriais C¹ num conjunto D (i.e. todas derivadas parciais de 1ª ordem (de uma extensão a um aberto que contém D se este não é aberto) existem e são contínuas) é diferenciável em D.

Exemplo (1): f prolongamento por continuidade a ℝ² de (x,y) ↦ xy(x²-y²)/(x²+y²) . D₁f(x,y)=(∂f/∂x)(x,y)=y(x⁴+4x²y²-y⁴)/(x²+y²)², notando a simetria associada a |f(x,y)| ser invariante sob troca de x com y e f(x,y) mudar de sinal: D₂f(x,y)=(∂f/∂y)(x,y)=-x(y⁴+4x²y²-x⁴)/(x²+y²)², são contínuas em ℝ²\{(0,0)} porque quocientes de funções contínuas (polinómios) com denominador ≠0. |D₁f(x,y)|≤6(||(x,y)||_∞)⁵/||(x,y)||⁴≤6||(x,y)||⁵/||(x,y)||⁴=6||(x,y)||→0 quando (x,y)→(0,0) ; como f(x,0)=0 é D₁f(0,0)=0 ; logo,  D₁f também é contínua em (0,0) . Analogamente para D₂f . Portanto f é C¹ em ℝ², Aplicando (2), f é diferenciável em ℝ² (obteve-se diferenciabilidade em (0,0) sem recorrer directamente à definição de diferenciabilidade, só estudando derivadas parciais).

Definição: Derivadas parciais de 2ª ordem (notações ∂²f/(∂x_i∂x_j)=(∂/x_i)(∂f/∂x_j)(x₁,...,x_n) , D_ijf=D_i(D_jf)(x₁,...,x_n) , i,j=1,...,n ; a notação antiga era com a ordem inversa dos símbolos de derivação e ainda há quem use essa notação; em cada livro é preciso verificar qual é a notação usada).

Exemplos: 
(2) f campo escalar em ℝ² f(x,y)=x³y . D₁f(x,y)=(∂f/∂x)(x,y)=3x²y , D₂f(x,y)=(∂f/∂y)(x,y)=x³, D₁₁f(x,y)=(∂²f/∂x²)(x,y)=6xy, D₂₁f(x,y)=(∂²f/(∂y∂x))(x,y)=3x², D₁₂f(x,y)=(∂²f/(∂x∂y))(x,y)=3x², D₂₂f(x,y)=(∂²f/∂y²)(x,y)=0 . Neste caso ∂²f/(∂y∂x)=∂²f/(∂x∂y) , mas pode não ser como no exemplo seguinte. 
(3) Para a função f do Exemplo (1) (∂²f/(∂y∂x))(x,y)=lim_y→0[D₁f(0,y)-D₁f(0,0)]/y=lim_y→0-(y⁵/y⁴)/y=-1, com a simetria usada no Exemplo (1), (∂²f/(∂x∂y))(x,y)=+1. Logo, D₂₁f(0,0)≠D₁₂f(0,0) .

Observação: Interessa ter condição suficiente simples que garanta igualdade de derivadas parciais de ordem >1 em ordenações diferentes das mesmas variáveis (para uma derivada parcial de ordem k em relação a variáveis diferentes há k! derivadas mistas com as mesmas variáveis; é útil calcular só uma e saber que as outras são iguais). Para obter este resultado é útil um teorema de valor médio com derivadas parciais de 2ª ordem.

Teorema de valor médio em ℝ² com derivadas parciais de 2ª ordem: Se f:D→ℝ, D⊂ℝ² é aberto, a=(a₁,a₂)∈D, h=(h₁,h₂)∈ℝ², R_h=[a₁,a₁+h₁]x[a₂,a₂+h₂]⊂D, D₂₁f existe em D, então ∃c_h∈int R_h: [f(a₁+h₁,a₂+h₂)-f(a₁+h₁,a₂)] - [f(a₁,a₂+h₂)-f(a₁,a₂)] = D₂₁f(c_h) h₁h₂ (geometricamente, a diferença dos acréscimos de f entre extremidades correspondentes nos lados verticais do rectângulo R_h são a área do rectângulo vezes o valor de D₂₁ num ponto interior ao rectângulo).

(Dem, envolve duas aplicações do Teorema de Lagrange em 1 variável de CDI1 (uma para acréscimos de funções da 1ª variável com a 2ª fixa e outra dos acréscimos destes acréscimos para acréscimos da 2ª variável com a 1ª fixa) e regra de derivação da função composta também em 1 variável. O T. de Lagrange para funções 1 variável aplicado a g:[0,1]→ℝ tal que g(t)=f(a₁+th₁,a₂+h₂) - f(a₁+th₁,a₂) (g é diferenciável porque g'=D₁f existe em D), ∃_t*∈]0,1[: g(1) - g(0) = g'(t*) = [D₁f(a₁+t*h₁,a₂+h₂) - D₁f(a₁+t*h₁,a₂)] h₁ (usou-se a Regra da Cadeia para calcular g'). Como D₂₁f existe em D, aplicando outra vez o T. de Lagrange para funções 1 variável, agora ao acréscimo no lado direito da igualdade precedente, ∃_s*∈]0,1[: D₁f(a₁+t*h₁,a₂+h₂) - D₁f(a₁+t*h₁,a₂) = D₂₁f(a₁+t*h₁,a₂+s*h₂) h₂ . Obtém-se a igualdade no enunciado do teorema com c_h=(a ₁+t*h₁,a₂+s*h₂)∈int R _h)

Lema de Schwarz (para derivadas parciais de 2ª ordem com 2 variáveis): Se f:D→ℝ, com D⊂ℝ² é aberto, D₂₁f e D₂f existem em D, e D₂₁f é contínua em a∈int D , então D₁₂f(a) existe e D₁₂f(a)=D₂₁f(a) .

(Dem. Aplicação do teorema precedente, continuidade de D₂₁f , limites iterados e definição de derivada parcial. Aplicando llim_h1→0lim_h2→0 ao lado esquerdo da igualdade obtida no teorema precedente dividido por h₁h₂ dá lim_h1→0 [D₂f(a₁+h₁,a₂) - D₂f(a₁,a₂)]/h₁)=D₁₂f(a₁,a₂) , usando 1º a existência de D₂f em D e depois a definição de D₁₂f . Aplicando lim_h1→0lim_h2→0 ao lado esquerdo da igualdade dividido por h₁h₂ dá lim_h1→0lim_h2→0D₂₁f(c_h) = D₂₁f(a₁,a₂) , usando a continuidade de D₂₁f em (a₁,a₂) . Logo, D₁₂f(a)=D₂₁f(a).)