13ª Aula - Derivadas segundo vectores e direccionais. Exemplos. Curvas. Relação de planos tangentes a conjunto de nível e a gráfico de campo escalar diferenciável com gradiantes. Revisão do T. de Lagrange para funções reais num intervalo real. T.  de Lagrange para campos escalares e aplicações: (1) em conjuntos abertos conexos por poligonais campos escalares ou vectoriais diferenciáveis têm derivada 0 se e só se são constantes, e (2) campos C1 são diferenciáveis.

12 março 2020, 13:00 • Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada) 

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 67-81 do livro Gabriel E. Pires, Cálculo Diferencial e Integral em ℝⁿ, IST Press, 2012., e exercícios correspondentes. 

Observação: As derivadas parciais num ponto foram definidas como derivadas de funções de 1 variável que são restrições da função de várias variáveis considerada a rectas paralelas aos eixos coordenados que passam no ponto. Pode-se proceder identicamente em relação a qualquer outra recta que passa no ponto

Definições: Derivada de uma função f de n variáveis reais num ponto a segundo um vector v≠0, f´(a;v)=g'(0), em  que, f=(f₁,...,f_m) com f₁,...,f_m componentes que são campos escalares, g(t)=f(a+tv) para |t|<ε para algum ε>0,  g=(g₁,...,g_n),  g'(0)=(g₁'(0),...,g_n'(0)) . Derivada direccional de f em a na direcção dev≠0, f´(a;v/||v||) (i.e. é uma derivada segundo um vector com norma 1).

Observações: 
(1) Derivadas parciais são derivadas direccionais na direcção e sentido dos vectores da base canónica do espaço que contém o domínio da função: D_jf_i(a)=∂f_i/∂x_j(a)=f_i´(a;e_j) . 
(2) Se f tem valores em ℝ^m e variáveis em ℝⁿ, então f´(a;v)=(f₁´(a;v), ... , f_m´(a;v)) em que f=(f₁,..., f_m) e cada f_j é um campo escalar.

Proposições: 
(1) f´(a;v) para v≠0 existe se e só se a derivada direccional de f na direcção de v existe, e em caso afirmativo f´(a;v)=||v|| f´(a;v/||v||) .
(2) Se f é diferenciável em a e v≠0, então f´(a;v)=[f´(a)](v)=[Df(a)]v (para campo escalar  f´(a;v) =[f´(a)](v)=[Df(a)]v=∇f(a)·v).
(Dem. (1) g_c(t)=f(a+tcv)=g₁(ct), f´(a;cv)=g_c'(0)=cg₁'(0)=cf´(a;v) . Com c=1/||v||, f´(a;;v/||v||)=(1/||v||) f´(a;v). (2) g(t)=f(a+tv), da Regra da Cadeia f´(a;v)=g'(0)=Df(a)v.)

Observações: (1) Se f:D→ℝ^m é diferenciável em a∈int D⊂ℝⁿ as derivadas em a segundo qualquer vector v∈ℝⁿ\{0} existem, mas o recíproco não é verdadeiro.
(2) Derivadas de campos escalares segundo vectores com a mesma direcção e sentido, quando uma existe, aumentam proporcionalmente à norma dox vectores. Com sentidos opostos, quando existem, trocam de sinal: f´(a;-v)=-f´(a;v) .

Exemplos: (1) Campo escalar em ℝ² f(x,y)=1 se 0<y<x² e 0 caso contrário tem derivada 0 em (0,0) segundo qualquer vector v≠0 e é descontínuo em 0, logo não diferenciável em 0 . 
(2) Idem para f(x,y)=x²y/(x⁴+y²) se (x,y)≠(0,0) e =0 se  (x,y)=(0,0) (com v=(v₁,v₂),  f´((0,0);v)=lim_t→0[f(tv)-f(0,0)]/t=lim_t→0t³v₁²v₂/[t³(t²v₁⁴+v₂²)]=v₁²/v₂ se v₂≠0 e 0 se v₂=0 (todas as derivadas de f em (0,0) segundo qualquer vector ≠0 existem e f não é contínua em (0,0), e por maior razão não é diferenciável em (0,0)).

Revisão: Descrição geométrica de gradiante de campo escalar f:D→ℝ diferenciável em a∈int D⊂ℝⁿ em que ∇f(a)≠0 : Vector de ℝⁿ com direcção ⊥ à curva ou superfície de nível que passa em a (ver-se-á depois como aplicação do T. da Função Implícita que se f tem derivada contínua em a  e ∇f(a)≠0, o conjunto de nível que passa em a numa vizinhança deste ponto é uma curva com tangente nesse ponto), sentido para o lado em que f cresce e comprimento igual à derivada direccional de f em a na direcção do vector em que a derivada direccional em a é máxima; a derivada direccional na direcção de um vector v≠0 é + ou - o comprimento da projecção ortogonal de ∇f(a) sobre v conforme v aponta para onde f cresce ou decresce. 

Definição: Chama-se curva em D⊂ℝⁿ ao contradomínio de uma função contínua g:I→D em que I é um intervalo em ℝ e diz-se que g é uma representação paramétrica ou um caminho que representa a curva C=g(I) . Chama-se tangente à curva C num ponto g(t₀) de C tal que g é diferenciável em t₀ a um vector v=g'(t₀)≠0 . Chama-se vector ortogonal a uma curva C num ponto em que tem tangente a um vector ortogonal a uma tangente à curva nesse ponto.

Revisão: Geometria e equação cartesiana de plano-(n-1) tangente a conjunto de nível num ponto de diferenciablidade a de um campo escalar f de n variáveis reais em que ∇f(a)≠0 e de plano-n tangente a gráfico de f em  (a,f(a)) : resp., ∇f(a)·(x-a)=0 e ∇f(a)·(x-a)-(z-f(a))=0 (a 2ª é a 1ª mas para a função F(x,z)=f(x)-z pois o gráfico de f é o conjunto de nível 0 de F e ∇F=(∇f,-1) .

Exemplo: Função real de 2 variáveis reais f(x,y)=x²+y². ∇f(x,y)=(2x,2y), ∇f(1,2)=(2,4). Equação cartesiana do plano tangente a G(f) em ((1,2),f(1,2))=(1,2,5) é ∇f(1,2)·(x-1,y-2)=z-5, ou seja 2(x-1) + 4(y-2) - (z-5) = 0, (∇f(1,2),-1)⊥G(f) no ponto (1,2,5) ; G(f) é o conjunto de nível 0 do campo escalar definido em ℝ³ por F(x,y,z) = f(x,y) - z . Equação cartesiana da recta tangente à curva de nível f(1,2)=5, que é o conjunto f^-1({5}) no ponto (1,2) é ∇f(1,2)·(x-1,y-2)=0 , ou seja 2(x-1)+4(y-2)=0 , ∇f(1,2)⊥f^-1({5}) no ponto (1,2). ∇f(1,2) é a projecção ortogonal de (∇f(1,2),-1) sobre o plano xy que contém o domínio de f .

Revisão de 1 variável: 
(1) Teorema de Lagrange (Teorema de Valor Médio do Cálculo Diferencial): Se f:[a,b]→ℝ é contínua em [a,b] e diferenciável em ]a,b[, então ∃_c∈]a,b[: f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) .
(2) Consequência: Se f:I→ℝ, I⊂ℝ é um intervalo, então f'=0 em I ⇔ f é constante em I .

Proposição: Teorema de Lagrange para campos escalares:  Se f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ é contínua, S_a,b⊂D é o segmento de recta com extremidades nos pontos a,b, S_a,b\ {a,b}⊂int D e f é diferenciável em S_a,b\ {a,b}, então ∃_c∈Sa,b\{a,b}: f(b)-f(a)=[f´(c)](b-a)=∇f(c)·(a-b) .
(Dem. Aplicar o T. de Lagrange de 1 variável a g(t)=f(a+t(b-a)) obtendo f(b)-f(a)=g(1)-g(0)=g'(c*)=[f´(c)](b-a)=∇f(c)·(a-b) com 0<c*<1 e c=a+c*(b-a))

Observação: O Teorema de Lagrange não é válido para campos vectoriais (pode acontecer que para cada componente o ponto intermédio não possa ser o mesmo e, portanto, não exista um ponto intermédio válido para todas as componentes simultaneamente).

Definição: Diz-se que D⊂ℝⁿ é convexo se para todo par de pontos em D o segmento de recta que os liga está incluído em D . Diz-se que é conexo por poligonais se para todo o par de pontos existe uma linha poligonal que os liga.  Uma linha poligonal é uma união de uma sequência finita de segmentos de recta com o ponto final de cada um coincidente com o ponto inicial do seguinte).

Proposição: Se f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ é aberto e convexo ou conexo por poligonais e f é diferenciável em D, então f´=0 ⇔ f é constante em D 
(Dem.: aplicação do Teorema de Lagrange a cada componente de f em segmentos de recta contidos em D e argumento com as extremidades dos segmentos de recta que constituem uma poligonal em D ).

Definição: Diz-se que f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ aberto, é C¹ (continuamente diferenciável) em D se as derivadas parciais de todas as componentes ∂f_i/∂x_j existem e são contínuas em D ; se D não é aberto, diz-se que f é C¹ em D se pode ser estendida a uma função F C¹ num aberto que contém D.

Com base no Teorema de Lagrange para campos escalares pode-se provar que um campo escalar ou vectorial C¹ num conjunto aberto é diferenciável nesse conjunto (todas derivadas parciais, e portanto a matriz jacobiana, existirem num ponto não garante diferenciabilidade pois o gráfico da função pode não ser tangente ao plano definido a partir das derivadas parciais (ou da matriz jacobiana) embora os gráficos das restrições da função a rectas paralelas aos vectores da base canónica do espaço que contém o domínio tenham rectas tangentes no ponto correspondente; contudo, se as derivadas parciais (ou a matriz jacobiana) existem numa vizinhança do ponto e variam continuamente, tal já implica que o gráfico da funão é tangente ao plano referido).

Proposição: Uma condição suficiente para um campo escalar ou vectorial ser diferenciável num conjunto aberto é que seja C¹ (i.e. todas derivadas parciais de 1ª ordem existem e são contínuas) nesse conjunto 
(Dem.: Considera-se para cada componente f_j a Fórmula de Taylor de 1ª ordem em cada ponto a do conjunto e escreve-se o acréscimo da função correspondente a um acréscimo da variável independente como soma de acréscimos com só uma das componentes na base canónica a variar; aplica-se a cada um destes acréscimos o T. de Lagrange, somam-se as contribuições, majora-se a diferença a Df_j(a)h  e prova-se que →0 quando h→0 ).

Observação: Apesar da existência de derivadas parciais não garantir diferenciabilidade, nem sequer continuidade, se forem contínuas num conjunto aberto já se garante a diferenciabilidade.

Aula não realizada

11 março 2020, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Aula não realizada, a ser recuperada.

Exercícios da ficha 3

10 março 2020, 15:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios da ficha 3

12ª Aula - Revisão de diferenciabilidade, equação cartesiana de plano tangente ao gráfico de função num ponto correspondente a ponto de diferenciabilidade  e relações com gradiantes das componrntes da função, e regras de derivação de funções definidas por operações usuais com funções diferenciáveis. Exemplos de determinação de domínio de diferenciabilidade de função com base nas regras de derivação de operações de funções e na definição em pontos em que essas regras não se apliquem, cálculo de derivadas. Descrição geométrica de gradiante de um campo escalar.

10 março 2020, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: 
(1) Equação cartesiana de plano tangente ao gráfico de função num ponto correspondente a ponto de diferenciabilidade da função. Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ é diferenciável em a∈int D , Df(a)(x-a)=z-f(a) ; se m=1 (campo escalar), ∇f(a)·(x-a)=z-f(a) e o vector (∇f(a) ,-1)∈ℝⁿ⁺¹ é ortogonal ao plano tangente a G(f) no ponto (a,f(a))∈ℝⁿ⁺¹; se m>1, f=(f₁, ..., f_m) , a equação cartesiana é o sistema de equações lineares ∇f_j(a)·(x-a)=z_j-f(a),  j=1, ..., m,  e os vectores  (∇f_j(a) ,-e_j)∈ℝ^n+m,  j=1, ..., m, com (e₁, ... , e_m)  a base canónica de ℝ^m, são ortogonais ao plano tangente a G(f) no ponto (a,f(a))∈ℝ^n+m. 
(2) Diferenciabilidade e regras de derivação de operações usuais de funções diferenciáveis (composição, produto por constantes, soma, produto interno (inclui produto de campos escalares) produto externo (m=3), quociente de campos escalares com denominador diferente de 0 .

Observação: Para determinar se uma função é diferenciável num ponto e, se for, calcular a derivada, começa-se por explorar a possibilidade de obter a função numa vizinhança do ponto em termos das operações consideradas de funções diferenciáveis em pontos correspondentes, utilizando também a diferenciabilidade de transformações lineares. Só se consideram alternativas (e.g. a definição de diferenciabilidade que envolve calcular um limite de uma indeterminação 0/0) em pontos em que isto não seja possível.

Exemplos: Determinação do conjunto de diferenciabilidade de campos escalares concretos em ℝ², esboço dos gráficos das funções, e observações em relação a ordens de convergência de quocientes nas fórmulas das funções consideradas em relação a continuidade e a diferenciabilidade.

Observação: Se f:D→ℝ, com D⊂ℝⁿ é diferenciável em a∈int D com ∇f(a)≠0 e g:I→D é uma função diferenciável em t₀∈int I que representa uma curva de nível de f em D e a= g(t₀) com v=g'(t₀)≠0, da Regra de Derivação da Função Composta 0=(f∘g)'(t₀)=∇f(a)·v ; logo, gradiante ≠0 de f num ponto é ortogonal à curva de nível de f que passa no ponto (ver-se-á mais tarde que se ∇f(a)≠0 o conjunto de nível que passa em a é uma curva que tem pelo menos uma representação paramétrica diferenciável no valor correspondente do parâmetro e em que tem tangente). Portanto, o gradiante de um campo diferencial é ortogonal às curvas de nível em pontos em que têm tangente.

Revisão: Descrição geométrica de gradiante de campo escalar f:D→ℝ diferenciável em a∈int D⊂ℝⁿ em que ∇f(a)≠0 : vector de ℝⁿ com direcção ⊥ à curva ou superfície de nível que passa em a, sentido para o lado em que f cresce e comprimento igual ao declive da recta tangente ao gráfico da restrição de f à recta que passa em a com a direcção de ∇f(a) .

11ª Aula - Revisão: Diferenciabilidade e regra de derivação da função composta. Domínio de diferenciabilidade de função. Exemplo concreto de cálculo de matriz jacobiana e derivada de transformação linear. Gradiante de campo escalar, equação cartesiana do plano tangente a um ponto do gráfico de campo escalar em termos do gradiante, ortogonalidade de (∇f( a),-1) ao plano tangente ao gráfico de f num ponto (a,f(a)) correspondente a ponto a de diferenciabilidade de f . Diferenciabilidade e regras de derivação de operações elementares com funções diferenciáveis num ponto.

9 março 2020, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Diferenciabilidade e regra de derivação da função composta (Regra da Cadeia): Se g:D_g→ℝⁿ, f:D_f→ℝ^m, S⊂int D_g, g(S)⊂int D_f g é diferenciável em S e f é diferenciável em g(S), então f∘g é diferenciável em S e (f∘g)'=(f'∘g)∘g' (composição de transformações lineares), D(f∘g)(x)=Df[g(x)] Dg(x) para x∈S (produto de matrizes jacobianas), ou seja (f∘g)'(x)=f´[g(x)]∘g´(x) para x∈S . 

Definição: Chama-se domínio de diferenciabilidade de f:D→ℝ^m ao maior conjunto S⊂int D em que f é diferenciável.

Exemplo: Cálculo da matriz jacobiana e da derivada de transformação linear.

Definição: Se m=1, ao vector com as componentes da matriz jacobiana de f chama-se gradiante (ou gradiente) ∇f de f , ∇f(a)=((∂f/∂x₁)(a),...,(∂f/∂x_n)(a)) .

Proposição: Se f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ é diferenciável em a∈int D, a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de f em (a,f(a)) é z-[Df(a)](x-a)=f(a) para pontos (x,z)∈ℝⁿxℝ^m. Para campos escalares (m=1) também se pode escrever ∇f(a)·(x-a) = z-f(a) para pontos (x,z)∈ℝⁿxℝ ; (∇f( a) , -1) é ortogonal ao plano tangente ao gráfico de f em (a,f(a)) .

Exemplo: Determinação do domínio de diferenciabilidade, da derivada e do plano tangente a um ponto do gráfico da função real de variável real f(x,y)=||(x,y)|| .

Proposição: Se f,g:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ são diferenciáveis em a∈int D , multiplicações por constantes, somas, produtos internos (inclui produto de campos escalares se m=1), produtos externos se m=3 e quocientes (com denominador ≠0 em a) são diferenciáveis em a , e as resp. regras de derivação são: (cf)´(a)=cf´(a) , (f+g)´(a)=f´(a)+g´(a) , [<f,g>´(a)]h=<g(a),f´(a)h>+<f(a),g'(a)h> , [(f/g)´(a)](h)=[g(a)[f´(a)](h)-f(a)[g'(a)](h)]/[g(a)]². 

(Dem. Aplicar a regra de derivação da função composta para compor uma transformação linear ou bilinear correspondente à operação com a função f ou a função F(x)=(f(x),g(x)) , que é trivialmente diferenciável com matriz jacobiana DF(x)=[Df(x)  Dg(x))]^t; para o produto interno usar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e que se T∈L(ℝⁿ,ℝ^m) ∃_MT>0: ||T(h)|| ≤ M_T||h|| .)