8ª Aula -Revisão: definição de preimagem de subconjunto de espaço de chagada de função.  Caracterização topológica de continuidade, conjuntos abertos (resp., fechados) relativamente a um conjunto que os contém. Exemplos de conjuntos abertos ou fechados relat. a um conjunto que os contém e propriedades gerais de conjuntos relat. abertos ou fechados. Conjuntos conexos e conjuntos desconexos. Aplicações de preimagens de conjuntos abertos (resp., fechados) por funções contínuas serem conjuntos abertos (resp., fechados) relat. ao domínio, incluindo conjuntos de nível de campos escalares, conjuntos em que os valores são maiores (ou menores) do que um dado valor, e gráficos de funções.

3 março 2020, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de preimagem de conjunto. Uma função tem inversa (i.e. é injectiva) se e só preimagens de conjuntos singulares de pontos no contradomínio são conjuntos singulares. Preimagens de conjuntos abertos por funções contínuas  f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ são intersecções de subconjuntos abertos de ℝⁿ com D.

Definição: Diz-se que S⊂D⊂ℝⁿ é aberto (res., fechado) relativamente a D se existe um conjunto aberto (resp., fechado) U⊂ℝⁿ tal que S=U∩D .

Caracterização topológica de continuidade de f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ: f:D→ℝ^m com D⊂ℝⁿ é contínua se e só se preimagens de subconjuntos abertos de ℝ^m são conjuntos abertos relativamente a D.
(Ilustração gráfica da ideia, Dem. de necessidade já feita. Dem. de suficiência: Para ε>0 , f^-1[B_ε(f(x))] é aberto relativamente a D. Logo, ∃_δ>0:  f(B_δ(x))⊂B_ε(f(x)) , i.e. f é contínua em x .)

Observações:  
(1) Este resultado é uma caracterização topológica de continuidade que pode ser adoptada para estender a definição de funções contínuas a espaços topológicos não métricos. 
(2)  D⊂ℝⁿ é um espaço topológico com a topologia que é o conjunto dos subconjuntos de D abertos relativamente a D, chamada topologia de D induzida (ou relativa) doe spaço topológico ℝⁿ.
(3) O resultado pode ser aplicado para determinação de conjuntos abertos ou fechados com base em funções contínuas. 

Exemplos: Conjuntos em ℝ² que não são abertos nem fechados em ℝ² e são abertos relat. a um D₁⊂ℝ² e fechados relat. a um D₂⊂ℝ².  Conjuntos em  ℝ² abertos relat. a um conjunto D⊂ℝ². Conjuntos em  ℝ² fechados relat. a um conjunto D⊂ℝ². 

Proposições: Seja D⊂ℝⁿ.
(1) D é aberto e fechado relativ. a D .
(2) Se D é aberto (resp., fechado), então S⊂D é aberto (resp., fechado) relat. a D se e só se S é aberto (resp. fechado) em ℝⁿ. 
(3) S⊂D é aberto (resp., fechado) relat. a D se e só se D\S é fechado (resp., aberto) relat. a D . 
(4) Uniões (resp., intersecções) de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp., fechados) relat. a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relat. a D ; 
(5) Intersecções (resp., uniões) finitas de subconjuntos de ℝⁿ abertos (resp., fechados) relat. a um D⊂ℝⁿ são conjuntos abertos (resp. fechados) relat. a D .
(6) Preimagens por função contínua de conjuntos fechados são conjuntos fechados relat. ao domínio da função.

Observação: ℝⁿ e ∅ são os únicos subconjuntos de ℝⁿ simultaneamente abertos e fechados em ℝⁿ. Se D⊂ℝⁿ e D≠ℝⁿ, D e ∅ são simultaneamente abertos e fechado relat. a D, mas pode haver outros subconjuntos de D simultaneamente abertos e fechados; exemplo.

Definição: Diz-se que D⊂ℝⁿ é um conjunto conexo se os seus únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados são D e ∅ . Caso contrário diz-se que é desconexo. 

Proposição: D⊂ℝⁿ é desconexo ⇔ ∃ conjuntos disjuntos A,B≠∅ abertos relat. a D tais que D=AUB ⇔ ∃ conjuntos disjuntos A,B≠∅ fechados relat. a D tais que D=AUB .

Exemplo: Identificação de que um conjunto é aberto (resp., fechado) por ser a preimagem de um conjunto aberto (res., fechado) por uma função contínua definida num conjunto aberto (conjuntos de nível são fechados relat. ao domínio, conjuntos de sub- ou sobre- nível estrito (resp., lato) são abertos (resp., fechados) relat. ao domínio.

Proposição: Conjuntos de nível e gráficos de funções contínuas de D⊂ℝⁿ em ℝ^m são fechados relat. a, resp., D e Dxℝ^m; se D é fechado são subconjuntos fechados de, resp., ℝⁿ e ℝ^n+m. 

Exemplos: Identificação de conjuntos abertos ou fechados definidos por condições envolvendo funções contínuas, em particular, conjuntos de nível, sub- e sobre- nível de campos escalares contínuos (exemplos de gráfico de um campo escalar contínuo em ℝ² e da superfície de um tóro ("doughnut") em ℝ³ descrito por uma equação cartesiana). 

Observação: A continuidade de funções, via caracterização topológica de continuidade, é uma ajuda preciosa para facilitar a identificação se certos conjuntos são abertos ou fechados, o que pode ser muito mais difícil a partir das definições, devido à necessidade de determinar raios de bolas apropriados a identificar pontos do interior, exterior ou fronteira. A utilidade de continuidade para simplificação de cálculo de limites de funções quando se pode garantir continuidade sem cálculo do limite já tinha também simplificado radicalmente o cálculo de certos limites. Iremos encontrar várias outars situações em que continuidade de funções simplificam radicalmente outras questões, nomeadamente em cálculo diferencial e cálculo integral.

7ª Aula - Revisão: Limites e continuidade. Normas ||x||p. Definição de distância e de espaço métrico, distância em ℝn que dá espaço métrico que não é normado. Exemplo de espaço topológico de funções reais de variável real contínua que não é métrico. Caracterização topológica de continuidade, preimagens de subconjuntos de conjunto de chegada de função.

2 março 2020, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão Uma função de várias variáveis reais pode ter um mesmo limite sobre todas as rectas que passam num ponto sem ter limite nesse ponto (por haver algum outro modo de aproximação desse ponto no domínio da função em que a função não converge ou converge para outro valor. Pode ser útil uma transformação de variáveis para passar de uma função a outra em que seja mais fácil calcular o limite. Somas, produtos, quocientes em pontos em que o denominador é ≠0 de campos esclares contínuos e composições de funções contínuas são funções contínuas.

3 estratégias para limites, f:D→ℝ, D⊂ℝ ⁿ,  a∈D' :
(1) se é possível garantir que  f é contínua em  a sem calcular o limite em  a , lim _af= f(a) (a continuidade, apesar de propriedade simples, simplifica radicalmente o cálculo de limites, o que é útil pois com as propriedades de operações usuais é possível garantir continuidade sem calcular limites);
(2) para provar lim _x→a f(x)= b , majorar || f(x)- b||≤g( x) com lim _ag=0 ; 
(3) para provar que lim _af não existe, encontrar uma sucessão x _k→ a com  x _k≠ a em D para que limite de {f(x_k)} não exista ou outra sucessão  y_k→ a com  y_k≠ a em D tal que {f(y_k)} limite diferente.

Útil: Polinómios de várias variáveis são funções contínuas.

Exemplos concretos de determinação de continuidade de funções e de prolongamento por continuidade de funções a pontos aderentes ao domínio.

Exercício: ||x||_p=(|x₁|^p+ ... +|x_n|^p)^1/p, para x=(x₁, ... ,x_n)∈ℝⁿ, com p∈[1,+∞[, é norma em ℝⁿ, ||x||_∞≤||x||_q≤||x||_p para x∈ℝⁿ,1≤p<q (Homogeneidade e anulação são imediatas. Só é preciso obter a desigualdade triangular). Desta infinidade não numerável de normas, só para p=2 é euclidiana, i.e. compatível com um produto interno (prova-se com a Lei do Paralelogramo).

Observação: As normas ||x||_p , p≥1 são equivalentes. As noções topológicas dão o mesmo em qualquer delas. Pode-se usar a mais fácil para cada caso. Representação geométrica de bolas com estas normas. Como também ||x||₁≤ n||x||_∞, as normas ||x||_p , p≥1 são equivalentes. A distância correspondente é  d_p(x,y)=(|x₁-y₁|^p+ ... +|x_n-y_n|^p)^1/p e  [d_p(x,0)]^1/p=||x||_p.

Observação: Em espaços lineares de dimensão finita todas normas são equivalentes (dem. é uma aplicação do Teorema de Weierstrass para extremos de funções contínuas de várias variáveis em conjuntos limitados e fechados). Em espaços de dimensão infinita existem normas não equivalentes.

Para 0<p<1 , d_p(x,y)=|x₁-y₁|^p+ ... +|x_n-y_n|^p, é distância em  ℝ ⁿ , mas [d_p(x,0)]^1/p não é norma porque não satisfaz a desigualdade triangular para normas. 

Definição: distância num conjunto X≠∅ é d:X²→[0,+∞[ tal que: 
       (i) d(x,y)=d(y,x) ∀x,y∈X ; 
      (ii) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) ∀x,y,z∈X (desigualdade triangular); 
     (iii) d(x,y)>0⇔x≠y ∀x,y∈X . 
Um X≠∅ com uma distância d chama-se espaço métrico.

Observação: {espaços euclidianos} ⫋ {espaços normados} ⫋ {espaços métricos} ⫋ {espaços topológicos}. Há aplicações em que convém considerar um espaço de um destes tipos que não é do tipo anterior. Espaços euclidianos ou normados são espaços lineares; espaços métricos ou topológicos podem não ser. 

Exemplo de espaço topológico que não é métrico com funções contínuas reais de variável real: X=C([0,1],ℝ) com topologia {D⊂X: {f(x): f∈D} é abeto em ℝ}, para um x∈[0,1] fixo.

Caracterização topológica de continuidade de f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ.

Definição: Preimagem ou imagem inversa de conjunto A⊂ℝ^m por f:D→ℝ^m é f^-1(A)={x∈D: f(x)∈A} ; 

Teorema: f:D→ℝ^m com D⊂ℝⁿ é contínua se e só se preimagens de subconjuntos abertos de ℝ^m são intersecções de D com conjuntos abertos em ℝⁿ (i.e. conjuntos abertos relativamente a D).

(Dem. de necessidade: se A⊂ℝ^m é aberto e  x∈f^-1(A) , ∃_εx,δx>0 : f(B_δx(x) ∩ D)⊂B_εx(f(x))⊂A . Logo, f^-1(A) =∪_x∈f^-1(A)B_δx(x) ∩ D e ∪_x∈f^-1(A)B_δx(x) é aberto. Suiciência fica parea próxima aula.)

Observações: 
(1) Este resultado é uma caracterização topológica de continuidade. Pode ser adoptada para estender a definição de funções contínuas a espaços topológicos não métricos.
(3) Uma função pode não ser invertível, mas existem sempre preimagens dos subconjuntos do resp. espaço de chegada. Uma função é invertível se e só se as preimagens de subconjuntos singulares do espaço de chegada não vazias são subconjuntos singulares do domínio.

Exercícios da ficha 2

2 março 2020, 10:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Todos os exercícios.

6ª Aula - Continuação de exemplos concretos sobre limites. Limites iterados. Determinação de limites com coordenadas polares. Continuidade de transformações lineares. Definição de funções polinomiais de várias variáveis reais. Continuidade de somas, produtos, quocientes por campos escalares em pontos em que denominador não é nulo e de composições de funções contínuas.

28 fevereiro 2020, 11:30 • Luis Magalhães

Exemplos concretos de inexistência de limite e de cálculo de limite. Exploração de simetrias e de mudanças de variáveis. 

Limites iterados: se diferentes não há limite; se iguais é inconclusivo.

Exemplos com limites iterados.

Exemplo de utilidade de coordenadas polares na determinação de limites.

Proposição: Toda transformação linear de ℝⁿ em ℝ^m é contínua em ℝⁿ (Dem. majoração de ||f(x)-f(a)|| a partir de representação matricial de f nas bases canónicas).

Exemplos: Determinação de continuidade em exemplos concretos de campos escalares e vectoriais que são transformações lineares

Proposição: Somas, produtos e quocientes de campos escalares contínuos num ponto a (no caso de quocientes com denominador ≠0 em a) são contínuos em a .

Exemplos: Continuidade de campos escalares concretos em ℝⁿ, incluindo definição e continuidade  de polinómios em n variáveis reais.

Proposição: Somas, produtos internos e produto externo (se espaço de chegada é ℝ³), são funções contínuas.

Proposição: Composições fog de campos escalares ou vectoriais g contínuo num ponto a e f contínuo em g(a) são contínuos em a .

Exemplos: Determinação de domínio, conjunto de pontos de continuidade e conjunto máximo de extensão por continuidade de campos escalares ou vectoriais, com aplicação das propriedades de continuidade com operações. 

5ª Aula - Sucessões e limites de sucessões em ℝn. Relações de limites de sucessões num conjunto com propriedades topológicas do conjunto. Definição de limite de campos escalares e vectoriais e redução do 2º ao 1º. Funções contínuas em pontos e em conjuntos.  Caracterização de limites e continuidade de funções por limites de sucessões. Indicação da dificuldade que surge para limites de funções de mais de 1 variável em comparação com 1 variável. Estratégias para determinar existência e valor de limites de campos escalares. Exemplos sobre determinação de domínios, existência e cálculo de valor de limites, e prolongamento por continuidade.

27 fevereiro 2020, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: ||x||_∞≤ ||x||₂ ≤ ||x||₁≤ n||x||_∞, para x∈ℝⁿ. São normas equivalentes.

Definições: (1) sucessões em D⊂ℝⁿ (funções de ℕ em D); (2) limite de sucessão {u_m} em ℝⁿ: lim u_m=a se ||u_m-a||→0 (equivalente a ∀_ε>0∃_N∈ℕm>N ⇒||u_m- a|| <ε ).

Proposição: Convergência de sucessão em ℝⁿ para ponto a ⇔ convergência das sucessões correspondentes das componentes em ℝ para o valor da respectiva componente de a (Dem.: Imediata de ||x||_∞≤||x||₂≤n||x||_∞).

Exemplo: Caso concreto de sucessão e cálculo de limite de sucessão em ℝ³ a partir das sucessões componentes em ℝ.

Perguntas:
(1) Conjunto dos pontos que podem ser limite de sucessão em D⊂ℝⁿ? (R.: o fecho de D ); 
(2) Conjuntos D⊂ℝⁿ tais que limites de sucessões em D convergentes pertencem a D? (R.: D fechados) ;
(3) Conjunto dos pontos que podem ser limite de sucessão em D⊂ℝⁿ e não são termos da sucessão? (R.: D') ;
(4) Conjuntos D⊂ℝⁿ para que não há sucessões em D sem termos repetidos convergentes? (R.: conjuntos sem pontos de acumulação, i.e., conjuntos de pontos isolados).

Definição: Limite de campo escalar ou vectorial f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, num ponto a aderente ao (i.e do fecho do) domínio D : lim_x→af(x)=b (ou lim_af=b) se ∀_ε>0∃_δ>0 f(B_δ(a)∩D)⊂B_ε(b) . 
(mesmo que (a) ∀_ε>0∃_δ>0 x∈B_δ(a) e x∈D ⇒ f(x)∈B_ε(b) , ou (b) ∀_ε>0∃_δ>0 ||x-a||<δ e x∈D ⇒ ||f(x)-b||<ε ).

Observações: 
(1) A definição é a mesma que para funções de ℝ em ℝ apenas substituindo intervalos de vizinhança de pontos em ℝ por bolas abertas centradas nos correspondentes pontos em ℝⁿ e ℝ^m).
(2) Na definição é essencial considerar explicitamente que o ponto  a é aderente ao domínio (caso contrário não se estaria a definir nada porque a implicação seria sempre verdadeira, pois ∅⊂S para todo conjunto S). 

(3) Uma outra possibilidade seria definir limite em pontos de acumulação do domínio em vez de pontos de aderência, neste caso não contando com o valor da função no ponto em que considera o limite, o que foi feito no ano passado. Opta-se pela definição em pontos de aderênca do domínio porque foi o que se fez em CDI1 e no Secundário, ao contrário do ano passado. Contudo, se a opção fosse em pontos de acumulação do domínio também seria essencial que o ponto a considerado pertencesse a conjunto dos pontos de acumulação do domínio, pela mesma razão.

Proposições: Seja f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ e a  ponto aderente a D, f=(f₁, ... ,f_m) . 
(1)  lim_x→af(x)=b ⇔ lim_x→a||f(x)-b||=0 (limite de campo escalar) (Dem. Imediata da 3ª expressão para a definição).
(2) lim_x→af(x)=b=(b₁, ..., b_m) ⇔ lim_x→af_j(x)=b_j , j=1, ...,m (Dem. Imediata de ||f(x)-b||_∞≤||f(x)-b||≤m||f(x)-b||_∞).

Observação: Limites de campos vectoriais reduzem-se a limites de campos escalares.

Proposição: Seja  f:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ, a ponto aderente a D. lim_x→af(x)=b ⇔ f(a_k) → f(a) para toda sucessão {a_k}⊂D tal que a_k→a . (Dem. Comparação das normas ||x||₂ e ||x||_∞).

Definições: Um campo escalar ou vectorial f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, é contínuo em a∈D se lim_x→af(x)=f(a) e considera-se contínuo em pontos isolados de D ;  é contínuo em S⊂D se é contínuo em todo  a∈S .

(a continuidade de f em a∈D é equivalente a: (a)  ∀_ε>0∃_δ>0 f(B_δ(a)∩D)⊂B_ε(f(a)) , ou (b) ∀_ε>0∃_δ>0 x∈B_δ(a)∩D ⇒ f(x)∈B_ε(f(a)) , ou (c) ∀_ε>0∃_δ>0 ||x-a||<δ e x∈D ⇒ ||f(x)-f(a)||<ε ).

Proposição: Um campo vectorial é contínuo num ponto se e só se os campos escalares componentes são contínuos nesse ponto.

Proposição: Se D⊂ℝⁿ, a∈D, f:D→ℝ^m, f=(f₁, ... ,f_m) , então f é contínua em a ⇔  f(a_k) → f(a) para toda sucessão {a_k}⊂D tal que a_k→a .

Observação: Domínio de funções especificadas por expressões com valores em ℝ^m e variáveis em ℝⁿ (o maior subconjunto de ℝⁿ em que a expressão dá valores em ℝ^m, a mesma ideia de para funções reais de variável real).

Observação: A única dificuldade que surge na consideração de várias variáveis nas noções de limite e continuidade em comparação com 1 variável resulta de perder-se a relação de ordem compatível com as operações de ℝ e, portanto, em vez de considerar o comportamento dos valores da função quando se aproxima o ponto pela direita ou esquerda tem de se considerar todas as maneiras de aproximação numa vizinhança do ponto. Essa dificuldade surge de 1 para 2 variáveis; um nº maior de variáveis tem a mesma dificuldade.

3 estratégias para limites de campos escalares, f:D→ℝ, D⊂ℝⁿ, a∈D':
(1) se é possível garantir que f é contínua em a sem calcular o limite em a , lim_af=f(a) ;
(2) para provar lim_x→af(x)=b , majorar |f(x)-b|≤g(x) com lim_ag=0 ; 
(3) para provar que lim_af não existe basta encontrar 1 modo de aproximação de a no domínio para que limite não exista ou 2 modos para que convirja para valores diferentes; 

lim_x→af(x)=b reduz-se a limite em 0 ser 0 por lim_y→0[f(y+a)-b]=0 (translação da origem de coordenadas no domínio e no espaço de chegada); 

Observação: em fracções de funções polinomiais ou que envolvam raizes de termos polinomiais em várias variáveis, comparar ordens de convergência para conjecturar uma das alternativas; se o denominador é uma soma de termos de graus diferentes há que analisar com cuidado ordens de convergência para conjecturar convergência ou divergência).

Exemplos: Determinação do domínio de uma função real de variáveis reais, existência e inexistência de limite e cálculo de limite de campos escalares em ℝ² e prolongamento por continuidade de funções reais de várias variáveis concretas, sublinhando comparação de ordens de convergência de numerado e denominador de funções racionais e como proceder para questões de limite.