7ª aula de problemas

2 abril 2014, 09:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 3.1 do livro aconselhado.

Planos tangentes. Polinómio de Taylor de grau 2

2 abril 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Comparação da equação para o plano tangente ao gráfico da função implícita e para o plano tangente a uma variedade dada pela equação \(\bf{F}(x)=\bf{0}\): exemplos \(z=x^3-2xy^2\) e \(z=\sin (x+yz)\). Equações para espaços/planos tangentes a variedades dadas tanto por equações, como por parametrizações.

Polinómio de Taylor de 2 variáveis e grau menor ou igual a 2  num ponto dum aberto do domínio para uma função de classe \(C^2\). T.P.C.: construir o polinómio de grau 2 em \((0,0)\) para \(f(x,y)=e^x (x^2+y^2)\).

Ver: secção 3.3 do Capítulo 3 do livro aconselhado.

7ª aula de problemas

1 abril 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 3.1 do livro aconselhado.

Parametrizações. Espaços tangentes

31 março 2014, 12:30 • Ana Moura Santos

Definição estrita de parametrização de variedades com as propriedades: 1) definida num aberto; 2) de classe \(C^1\), injetiva e sobrejetiva; 3) derivada injetiva. Verificação das três propriedades duma parametrização no caso da variedade:  \(1/4\) da superfície esférica \(x^2+y^2+z^2=1, y,z>0\).

Equação para o plano tangente ao gráfico da função implícita. Exemplo de plano tangente ao gráfico duma função de duas variáveis.

Ver: secção 3.2 do Capítulo 3 do livro aconselhado.

Variedades definidas por equações/parametrizações

28 março 2014, 08:30 • Ana Moura Santos

Definição de variedade k-dimensional regular (recorde-se): é localmente o gráfico duma função de classe \(C^1\). Exemplos de variedades como gráficos de funções de duas variáveis: gráficos de funções.

Definição de curvas/superfícies de nível: curvas de contorno em \(R^2\) (ContourPlot) e superfícies de nível em \(R^3\) (ContourPlot3D).

Critério para identificação duma variedade \(M\) mergulhada em \(R^n\): existência duma função \({\bf F}\) de classe \(C^1\) t.q. \({\bf F ({\bf z})}={\bf 0}\), com derivada \([{\bf D(F ({\bf z})}]\) sobrejectiva numa vizinhança aberta de \({\bf z}\) em \(M \bigcap U\), com \(U\) aberto de \(R^n\).

Exemplo 1: verificação da existência duma curva regular numa vizinhança da origem para o conjunto de pontos de \(R^2\) que satisfazem a equação \(xy+\cos(x+y)+\sin(x+y)=1\).

Exemplo 2: verificação da existência duma superfície regular para o conjunto de pontos de \(R^3\) que satisfazem a equação \(\cos(xy+z)=0\).

Curvas e superfícies parametrizadas. Exemplos: \((\cos t, \sin t, 2t)\) com \(t \in ]0, 10[\), curva em forma de hélice em \(R^3\) e \((\cos u \cos v, \sin u \cos v, \sin v)\) com \(u \in ]0,2 \pi[\) e \(v \in ]-\pi/2, \pi/2[\), superfície esférica de raio um, centrada na origem.