6ª aula de problemas

26 março 2014, 09:30 • Ana Moura Santos

Exercícios das secções 2.10 e 3.1 do livro aconselhado.

Função implícita e variedades

26 março 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Revisão do Teorema da função implícita (versão longa) e aplicação ao caso da elipse \(4x^2+y^2-1=0\) com medição da vizinhança onde há garantia de existir função implícita. Cálculo da derivada da função implícita.

Definição de gráficos de funções de v.v. com valores em \(R^m\). Exemplos analíticos, computacionais (Plot3D) e tridimensionais.

Definição de variedade regular de dimensão \(k\) mergulhada em \(R^n\), p.ex. \(n=2, 3\): \(k=1\) corresponde a uma curva, \(k=2\) corresponde a uma superfície.

Ver: secção 3.1 do Capítulo 3 do livro aconselhado.

7ª aula de problemas

25 março 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 3.1 do livro aconselhado.

Teorema da função implícita (parte 2)

24 março 2014, 12:30 • Ana Moura Santos

Teorema da função implícita (versão longa). Questão: quando (onde) é que a equação não-linear homogénea \({\bf F}({\bf c})={\bf 0}\), em que \({\bf F:W \subset R^{n+m} \rightarrow R^n}\) é diferenciável com derivada de Lipschitz, e tal que a derivada é sobrejetiva (o Nº de pivots=Nº de equações=Nº de variáveis passivas), define implicitamente, numa vizinhança do ponto \({\bf c}=({\bf a},{\bf b})\), uma função \({\bf g}\) de classe \(C^1\) que exprime as \(n\) variáveis passivas como função das \(m\) variáveis livres? Para os pontos da vizinhança de \({\bf b}\), em que \({\bf x}={\bf g}({\bf y})\), temos  ainda   \([D({\bf g}({\bf b}))]= -[D_1{\bf F}({\bf {c}}),...,D_n{\bf F}({\bf {c}})]^{-1}[D_{n+1}{\bf F}({\bf {c}}),...,D_{n+m}{\bf F}(\bf {c})]\).

Teorema da função implícita (parte 1)

21 março 2014, 08:30 • Ana Moura Santos

Revisões sobre soluções de sistemas de equações lineares com menos equações do que incógnitas: pivots e variáveis livres, colunas L.I. e sobrejetividade, solução na forma vetorial paramétrica.

Exemplo da equação não-linear \(x^2+y^2+z^2=1\), escrita na forma \({\bf F}({\bf x})=x^2+y^2+z^2-1=0\).

Teorema da função implícita (versão curta). Questão: quando (onde) é que a equação não-linear homogénea \({\bf F}({\bf c})={\bf 0}\), em que \({\bf F:W \subset R^{n+m} \rightarrow R^n}\) é diferenciável e de classe \(C^1\),  com derivada sobrejetiva (o Nº de pivots=Nº de equações=Nº de variáveis passivas), define implicitamente, numa vizinhança do ponto \({\bf c}\), uma função \({\bf g}\) de classe \(C^1\) que exprime as \(n\) variáveis passivas como função das \(m\) variáveis livres?

Estudo das funções implícitas para \({\bf F}({x,y})=4x^2+y^2-1=0\) nas vizinhanças de \((1/2,0)\) e de \((0,1)\).

Ver: secção 2.10 do Capítulo 2 do livro aconselhado.