Integrando formas diferenciais sobre domínios parametrizados (com orientação)

16 maio 2014, 08:30 • Ana Moura Santos

Formas-k elementares (formas diferenciais) como um produto exterior com índices com uma ordem crescente, aplicadas a paralelogramos com âncoras em pontos de \(R^n\) e gerados por 1, 2 ou 3 vetores. Exemplos de formas-2 em \( R^4 \) e propriedades mais evidentes.

Integrais de formas sobre domínios parametrizados, em que a parametrização inclui uma orientação para a variedade. Integral dum campo de formas sobre uma variedade orientada, usando diferentes parametrizações que conferem diferentes orientações à variedade. Exemplos: integral do campo de formas-1 (trabalho) sobre a circunferência unitária parametrizada em R2 de duas maneiras diferentes, integral do campo de formas-2 (fluxo) para uma paramatrização da parte do plano \(x+y+z=1\) que se localiza no 1º octante de \(R^3\).R

 Ver: secções 6.1-6.4 do Capítulo 6 do livro aconselhado.

12ª aula de problemas

14 maio 2014, 09:30 • Ana Moura Santos

Resolução de exercícios propostos da secção 5.3.

Integral c.r.a. volume k. Parametrizações standard

14 maio 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Integral duma função integrável com respeito ao volume duma variedade-k parametrizada. Toda a variedade regular é parametrizável e o integral é independente da parametrização escolhida.

Exemplo de cálculo de integrais de e sobre comprimentos de arcos (circunferência no plano \(z=2\)) com diferentes parametrizações.

Catálogo de parametrizações standard: parametrização de gráficos de funções escalares, parametrização de superfícies que são resultado de revolução de curvas parametrizadas (parabolóide e toro), ou de curvas que são gráficos \(y=f(x)\).

12ª aula de problemas

13 maio 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Resolução de exercícios propostos da secção 5.3.

Integral c.r.a volume k=1,2 de variedades em R^3

12 maio 2014, 12:30 • Ana Moura Santos

Integral duma função integrável com respeito ao volume duma variedade-k parametrizada. Exemplo de cálculo de integrais sobre comprimentos de arcos (circunferência unitária no plano \(z=2\)) com diferentes parametrizações.

Propriedades das variedades: toda a variedade pode ser parametrizada (existência de parametrização), o volume k duma variedade não depende da parametrização (independência relativa à parametrização).