8ª aula de problemas

9 abril 2014, 09:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 3.5 e 3.6 do livro aconselhado.

Extremos condicionados

9 abril 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Exemplo de determinação do ponto que maximiza a função \(f(x,y)=xy\) sobre a circunferência unitária no 1º quadrante.

Teorema dos multiplicadores de Lagrange que garante existência de pontos críticos de funções de classe \(C^1\) sobre variedades definidas por várias equações. Exemplo para calcular a menor distância à origem, i.e. minimizar a função \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), dos pontos que pertncem a uma elipse em \(R^3\) dada pela interseção do cilindro \(x^2+y^2=1\) com o plano \(x=z\).

Ver: secção 3.7 do Capítulo 3 do livro aconselhado.

8ª aula de problemas

8 abril 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 3.5 e 3.6 do livro aconselhado.

Formas quadráticas e classificação...

7 abril 2014, 12:30 • Ana Moura Santos

Assinatura e característica duma forma quadrárica. Exemplos de classificação de formas quadráticas.

Extremos (máximos=max e mínimos=min) e pontos críticos ou de estacionaridade, onde a derivada se anula. Assinatura dum ponto crítico como a assinatura da forma quadrática correspondente ao termo de grau 2 do polinómio de Taylor correspondente. Formas quadráticas com a escrita da matriz hessiana= matriz das derivadas de 2ª ordem, que é uma matriz simétrica. Classificação de pontos críticos pela respectiva assinatura: mínimo com assinatura \((n,0)\), máximo com assinatura \((0,n)\), sela com assinatura \((k,l)\) e \(k \neq 0\), \(l \neq 0\).  Pontos críticos degenerados com assinatura \((k,l)\) e  \((k+l<n)\).

Ver: secção 3.5 e 3.6 do Capítulo 3 do livro aconselhado.

Pontos críticos: identificação e classificação

4 abril 2014, 08:30 • Ana Moura Santos

Identificação de pontos críticos com o critério de anulamento da (primeira) derivada. Classificação de pontos críticos pela assinatura da forma quadrática: min com assinatura \((n,0)\), max com assinatura \((0,n)\), sela com assinatura \((k,l)\) e \(k \neq 0\), \(l \neq 0\).  Pontos críticos degenerados com assinatura \((k,l)\) e  \((k+l<n)\). Ou com o critério dos va.p. da hessiana (segunda derivada): min quando todos os va.p. são positivos, max quando todos os va.p. são negativos, sela quando pelo menos um dos va.p. é positivo e um dos va.p. é negativo.

Exemplos simples de identificação e classificação de pontos críticos das funções polinomiais: \( x^2+y^2, x^2-y^2, -x^2-y^2\), T.P.C.: não esquece de acabar o estudo dos pontos críticos de  \(f(x,y)=e^x(x^2+y^2)\).

Ver: secção 3.6 do Capítulo 3 do livro aconselhado.