6ª aula de problemas

19 março 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 2.10 e 3.1 do livro aconselhado.

5ª aula de problemas

19 março 2014, 09:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 2.8 do livro aconselhado.

Teorema da função inversa

19 março 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Teorema da função inversa (versão curta): quando a derivada duma função \(\bf f\) de classe \(C^1\) num ponto \(\bf {x}_0\) é invertível, então a função é localmente invertível, com inversa \(\bf g\) de classe \(C^1\) na vizinhança da imagem do ponto \(\bf {y}_0=\bf {f}(\bf {x}_0)\).

Teorema da função inversa (versão longa): com a condição da derivada ser de Lipschitz contínua numa bola centrada em \(\bf {x}_0\) e de raio \(2R|L^{-1}|\), medimos o raio \(R\) da bola centrada em \(\bf {y}_0=\bf {f}(\bf {x}_0)\), onde existe inversa local continuamente diferenciável. Regra da cadeia que permite concluir: \([D({\bf g}({\bf y}_0))]= [D{\bf f}(\bf {x}_0)]^{-1}\).

Exemplo do estudo da inversa de \({\bf{f}}(x,y)=( \cos(x+y), x^2-y^2)\) numa vizinhança de  \({\bf {y}_0}={\bf {f}}(\pi/2,0)=(0,\pi^2/4)\).

 Ver: secção 2.10 do Capítulo 2 do livro aconselhado.

5ª aula de problemas

18 março 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 2.8 do livro aconselhado.

Teorema de Kantorovich

17 março 2014, 12:30 • Ana Moura Santos

Cálculo da constante \(M\), usando majorações para as derivadas de segunda ordem.

Enunciado do Teorema de Kantorovich para a convergência do Método de Newton a partir do guess inicial \(a_0\). A reter: o produto de 3 quantidades, sendo uma a norma de \(f(a_0\)), outra a norma (ao quadrado) da inversa da derivada, e a terceira a constante de Lipschitz, tem que ser menor ou igual a \(1/2\).

Verificação da condição do Teorema de Kantorovich para \({\bf{f}}(x,y)=( \cos(x-y)-y, \sin(x+y)-x)\) com guess inicial \({\bf a}_0=(1,1)\).

Ver: secção 2.8 do Capítulo 2 do livro aconselhado.