Integrais de campos de trabalho, fluxo e massa

23 maio 2014, 08:30 • Ana Moura Santos

Integral do trabalho (total) do campo vetorial \(\vec{F}=(y,-x,0)\) ao longo duma hélice parametrizada com uma orientação que preserva a orientação. Integral do fluxo do  campo vetorial \(\vec{F}=(x,y,-z)\) através dum cone orientado com normal exterior, mas parametrizado com uma parametrização que troca esta orientação.

Massa total como integral da forma de massa sobre uma região delimitada e orientada com a orientação dos vetores canónicos de \(R^3\) após parametrização dum toro que troca esta orientação. Exemplo do cálculo da massa total do toro com a função densidade \(f(x,y,z)=x^2+y^2\).

13ª aula de problemas

21 maio 2014, 09:30 • Ana Moura Santos

Resolução de exercícios propostos da secção 6.1, 6.2 e 6.4.

Formas-k na linguagem do cálculo vetorial

21 maio 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Campos de formas-0: funções escalares \(f\) avaliadas em pontos de \(R^n\). Campos de formas-1: trabalho \(W_F\) associado a um campo vetorial \(F\) sobre vetores ancorados em pontos. Exemplos: trabalho de campos vetoriais circulares, radiais. Trabalho do campo gravítico.

Campos de formas-2 em \(R^3\): ação do fluxo do campo vetorial \(\vec{F}=(y,-x,-z)\) sobre paralelogramos em diferentes pontos do espaço, com diferentes orientações.

13ª aula de problemas

20 maio 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Resolução de exercícios propostos da secção 6.1, 6.2 e 6.4.

Introdução às variedades orientadas. Formas diferenciais e cálculo vetorial

19 maio 2014, 12:30 • Ana Moura Santos

Orientação de variedades \(k=1\), i.e. linhas: orientação dada pelo campo tangente à linha; e de variedades \(k=2\) em \(R^3\), i.e. superfícies: com vetores do "tipo normal" à superfície.

Exemplo de parametrizações que preservam/trocam a orientação de \(x^2+y^2=R^2\) dada pelo campo tangente \(\vec{t}(x,y)=(-y,x)\) em \(R^2\). Orientação do plano \(x+y+z=1\) dada pela normal "exterior" \(\vec{n}(x,y,z)=(1,1,1)\) em \(R^3\) e verificação duma parametrização que preserva/troca esta orientação.

Interpretação das formas \(k=0,1,2\) na linguagem do cálculo vetorial:avaliação de funções em pontos, forma do trabalho dum campo de forças, forma do fluxo dum campo de forças, respetivamente.