(Quase) tudo sobre volumes e centros de gravidade

2 maio 2014, 08:30 • Ana Moura Santos

Cálculo do volume 2 (= área) dentro duma lemniscata de equação \(r= \sqrt{\cos \theta} \). Definição de \(vol_n A\), em que \(A\) é uma região plana ou espacial de \(R^2\), \(R^3\), respetivamente.

Para paralelogramos falamos de volumes n-dimensionais \(vol_n P\): comprimento dum intervalo= \(vol_1 P=|b-a|\), área dum retângulo= \(vol_2= |b_1-a_1||b_2-a_2|\), volume duma caixa=\(vol_3=|b_1-a_1||b_2-a_2||b_3-a_3|\).

Propriedades do \(vol_n A\): volume da união disjunta, volume da região transladada, volume nulo, expansão \(k\) do volume, distorção do volume quando \(A\) sofre uma transformação linear \(T\): o fator distorção do volume é dado por \(|det T|\).

Massa total de \(A\), centros de gravidade e de massa.

 Ver: secções 4.1, 4.2 e 4.9 do Capítulo 4 do livro aconselhado.

10ª aula de problemas

30 abril 2014, 09:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 4.5  do livro aconselhado.

Integral de Riemann. Teorema de Fubini

30 abril 2014, 08:00 • Ana Moura Santos

Recordar: construção do integral múltiplo a partir da pavimentação diádica de nível \(N\) com cubos em \(R^n\). Somas superiores e inferiores de Darboux/Riemann e os seus limites para pavimentações finas: integrais superiores e inferiores de Riemann. Definição do Integral de Riemann de \(f\) baseado na igualdade do integral superior e inferior de Riemann (a função \(f\) diz-se integrável à Riemann). Exemplo da construção do integral de \(f(x)=x\) no intervalo \([0,1[\). Partição diádica do intervalo/cubo de dimensão=1 e somas inferiores e superiores para cada partição de nível \(N\), integral inferior e integral superior (como limite das somas, quando o nível \(N\) da partição  tende para infinito), \(f(x)=x\) é integrável porque os dois integrais são iguais a 1/2.

Regras de integração: integral da soma de funções integráveis \(f+g\), integral do múltiplo \(k\) duma função integrável, \(kf\), ordenação do integral para \(f\leq g\), módulo do integral é sempre menor ou igual ao integral do módulo de \(f\), \(|f|\). Regra para o integral do produto de duas funções integráveis com variáveis distintas.

Função característica dum conjunto pavimentável (limitado). Volumes n-dimensionais: comprimento dum intervalo= \(vol_1\), área dum retângulo= \(vol_2\), volume duma caixa=\(vol_3\).

Enunciado do Teorema de Fubini.

 Ver: secção 4.5 do Capítulo 4 do livro aconselhado.

10ª aula de problemas

29 abril 2014, 13:30 • Ana Moura Santos

Exercícios da secção 4.5  do livro aconselhado.

Propriedades dos integrais múltiplos

28 abril 2014, 12:30 • Ana Moura Santos

Regras de integração: integral da soma de funções integráveis \(f+g\), integral do múltiplo \(k\) duma função integrável, \(kf\), ordenação do integral para \(f\leq g\), módulo do integral é sempre menor ou igual ao integral do módulo de \(f\), \(|f|\). Regra para o integral do produto de duas funções integráveis com variáveis distintas.

Função característica dum conjunto pavimentável (limitado). Volumes n-dimensionais de regiões limitadas de \(R^n\) pavimentáveis.