12ª Aula Prática

22 maio 2017, 10:00 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; ficha "Curvas e integrais de linha" e ficha "Variedades. Espaço Tangente. Espaço Normal".

47ª Aula - Revisão: para um campo C1 ser gradiante é necessário que seja fechado, mas não é suficiente; ilustração com um exemplo concreto e identificação de subconjuntos em que o campo é gradiante. Definição de conjunto em estrela. Em subconjuntos abertos em estrela de Rn um campo vectorial C1 é gradiante se e só se é fechado. Revisão da definição de variedade-m em ℝn (1≤m≤n) e descrição local de 3 modos: parametrizações (ou sistemas de coordenadas), gráficos de funções, equações cartesianas.

22 maio 2017, 09:00 • Luis Magalhães

Revisão: 
Definição: Diz-se que  f:S→ℝⁿ é fechado em S⊂ℝⁿ aberto se as derivadas parciais de f=(f₁,...,f_n) existem e satisfazem D_jf_i=D_if_j em S para i,j=1,...,n , ou seja se a matriz jacobiana Df existe e é simétrica em S . 
Proposição: Para  f:S→ℝⁿ C¹ num conjunto aberto S⊂ℝⁿ ser gradiante em S é necessário que seja fechado em S . (dem.: aplicar o lema de Schwarz a f=∇φ ). 
Esta condição não é suficiente, mesmo que S seja conexo. Exemplo: Campo vectorial fechado em S⊂ℝⁿ aberto conexo que não é gradiante ( f:S→ℝ², com S=ℝ²\{(0,0)} , tal que ||f(x,y)||=1/||(x,y)|| e f(x,y)⊥(x,y) , i.e. f(x,y) = (1/||(x,y)||²)(-y,x) . O integral de f sobre cada caminho regular simples que descreve um circunferência com centro na origem no sentido antihorário em relação à origem é 2π≠0 , logo, f não é conservativo em S=ℝ²\{(0,0) mas com θ(x,y) o ângulo polar de (x,y) é f=∇θ em T=ℝ²\{(x,0): x>0} embora não fora deste conjunto pois  θ é descontínua e, consequentemente, não tem gradiante nesses pontos.  θ C^∞ em T , pelo que f é um campo fechado em T , e com θ*(x,y)=arctan(y/x) é f=∇θ* em T*={(x,y): x>0, y∈ℝ} com θ C^∞ em T*, pelo que f é um campo fechado em T*; logo, f é um campo C^∞ fechado em S que não é gradiante em S, pois se fosse do TFC f seria conservativo. 

Observações: 
(1) O que é essencial neste exemplo é que existem curvas fechadas que limitam uma parte do plano em que nem todos os pontos pertencem ao conjunto em que o campo vectorial C¹ é fechado. Retirando ao conjunto uma semirecta com extremidade na origem ou, em alternativa, qualquer outra curva simples que comece na origem e vá para ∞ já se obtém um conjunto em que f é gradiante.
(2) Interessa ter condições em conjuntos conexos que garantam que um campo C¹ fechado é gradiante (logo, conservativo). Ver-se-á depois do TFC para integrais múltiplos que tal pode ser assegurado em subconjuntos de ℝ² tais que não pode acontecer o que se referiu na observação anterior relativamente ao aspecto essencial do exemplo, mas podemos dar uma condição mais forte no conjunto que assegura equivalência entre um campo C¹ ser fechado e gradiante 

Definição: Diz-se que S⊂ℝⁿ é um conjunto em estrela se existe p∈S tal que os segmentos de recta com uma extremidade p e outra extremidade em qualquer outro ponto de S estão contidos em S .

Observação: Os conjuntos convexos são conjuntos em estrela, mas há conjuntos em estrela não convexos.

Proposição: Se S⊂ℝⁿ é um conjunto aberto em estrela e  f:S→ℝⁿ é C¹, então: f é gradiante em S ⇔ f é fechado em S . (dem.: considerar a função candidata a potencial φ com valor φ(x)=∫_p^xf·dg em que g é um caminho regular simples que descreve o segmento de recta de p a x , calcular ∇φ susando a regra de Leibniz, a regra da cadeia, f ser fechado e o TFC para integrais simples, para verificar que ∇φ=f ).

Revisão:
3 modos equivalentes de descrever variedades-m em ℝⁿ localmente: ∅≠M⊂ℝⁿ variedade-m em ℝⁿ (1≤m≤n) C^k (k∈ℕ) se ∀ a∈M ∃ U⊂ℝⁿ aberto com a∈U tal que:
(1) parametrizações (ou sistemas de coordenadas): M∩U=g(V) , com g:V→ℝⁿ homeomorfismo C^k em V⊂ℝ^m aberto com rank Dg=m.
(2) gráficos de funções: M∩U=G(f) a menos de permutação de coordenadas, com f:V'→ℝ^n-m  C^k em V'⊂ℝ^m aberto .
(3) equações cartesianas: M∩U=F^-1({0}) , com F:U→ℝ^n-m C^k em U com rank DF=n-m .

Exercícios da Ficha 9.

19 maio 2017, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

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11ª Aula Prática

19 maio 2017, 12:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; ficha "Integrabilidade e convergência".

46ª Aula - Definição e notações de integral de campo escalar em subconjunto de vizinhança de coordenadas de variedade-m em ℝn. Referência a matriz de Gram das derivadas parciais de parametrização e utilização para cálculo de integrais em variedades-m. Casos particulares de cálculo de volumes-m de parelelepípedos-m em ℝn, definição de mensurabilidade e volume-m de tais conjuntos. Exemplos de cálculo de áreas de casos concretos de superfícies em ℝ3 com só uma parametrização a menos de conjunto de medida nula. Fórmula para volume-m de gráfico de campo escalar definido em subconjunto aberto de ℝm.

19 maio 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Observação: A definição de integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-m em ℝⁿ  é análoga à de intgeral de linha de campo escalar em caminho regular simples.

Definição: Chama-se integral de campo escalar f definido em subconjunto C de vizinhança de coordenadas de variedade-m M em ℝⁿ parametrizada por g a  ∫_C f = ∫_g-1(C) (f∘g) V_m(D₁g, ..., D_mg) se o integral existe e é finito, caso em que se diz que f é integrável em C , em que V_m(D₁g, ..., D_mg) designa o volume (m-dimensional) do paralelepípedo-m com arestas D₁g, ..., D_mg .

Notações: Usam-se as notações,  ∫_C f ,  ∫_C f dV_m ,  ∫_S f(x) dV_m(x) ,  ∫_C f dV ,  ∫_C f(x) dV(x) . Em ℝ³ usa-se para m=1, como anteriormente com integrais de linha, ∫_C f ds ou ∫_C f (x,y,z) ds , e para m=2  ∫_C f dS , ∫_C f (x,y,z) dS , ∫_C f (x,y,z) dV₂ .

Observações: 
(1) Devido à regra de derivação da função composta e ao teorema de mudança de variáveis de integração estas definições dão o mesmo resultado para qualquer parametrização.
(2) Aplicações de integrais em vizinhanças de coordenadas de variedades-m em ℝⁿ, como nos casos particulares de variedades-1 (integrais de linha em curvas regulares simples homeomorfas a um intervalo aberto de ℝ ) e de variedades-n (integrais múltiplos em subconjuntos abertos de ℝⁿ ) são a grandezas para subconjuntos de variedades-m a partir das respectivas densidades e conceitos associados, a volumes-m de subconjuntos de variedades-m , e em ℝ³ como no caso particular de variedades-1 a trabalho de campo vectorial a fluxo de campo vectorial através de subconjunto de variedade-2 (uma superfície) definido por ∫_C f·n , em que n é o campo vectorial que em cada ponto de C dá uma normal unitária a C nesse ponto contínua (se f é um campo de velocidades, o fluxo dá a quantidade de matéria que passa através da superfície S por unidade de tempo).
(3) Se A é matriz mxn com linhas que são as componentes dos vectores D₁g(t), ..., D_mg(t) na base canónica de ℝⁿ e B é a matriz mxm com linhas que são as componentes dos mesmos vectores numa base ortonormal do subespaço linear de ℝⁿ gerado por esses vectores, sabe-se de Álgebra Linear que V_m(D₁g(t), ..., D_mg(t)) = | det B | . V_m(D₁g(t), ..., D_mg(t)) = (det [D_ig(t)·D_jg(t)]_i,j)^1/2, em que [D_ig(t)·D_jg(t)]_i,j  é a matriz de Gram dos vectores D₁g(t), ..., D_mg(t) . 

Casos particulares de V_m(D₁g(t), ... , D_mg(t)) :
(1) (para integrais de linha em ℝⁿ) :  V₁(g'(t))=||g'(t)|| .
(2) (para integrais de superfície em ℝⁿ) :  V₂(D₁g(t), D₂g(t)) = (det  [D_ig(t) · D_jg(t) ]_i,j=1,2 )^1/2= (EG-F²)^1/2, com E=||D₁g(t)||², F=D₁g(t) · D₂g(t) , G=||D₂g(t)||².
(3) (para integrais de superfície em ℝ³) : também V₂(D₁g(t), D₂g(t)) = || D₁g(t) x D₂g(t) || = || ∑_i=1,2,3 (-1)ⁱ⁺¹det A_i e_i || , em que A_i é a submatriz obtida suprimindo a coluna i à matriz A cujas colunas são as componentes na base canónica de cada um dos vectores D₁g(t), D₂g(t)∈ℝ³.
(4) (para integrais de hipersuperficies, i.e.variedades-(n-1), em ℝⁿ)  V_n-1(D₁g(t), ... , D_n-1g(t)) = || ∑_i=1,...,n (-1)ⁱ⁺¹det A_i e_i  || , A_i como em (c) com as colunas de A com as componentes na base canónica de cada um dos vectores D₁g(t), ... , D_n-1g(t) .
(5) (para integrais múltiplos em ℝⁿ):  V_n(D₁g(t), ... , D_ng(t)) = | det Dg | .

Definição: Chama-se volume-m ou medida de subconjunto S de vizinhança de coordenadas de variedade-m M em ℝⁿ  parametrizada por g a   ∫_S1  se o integral existe e é finito, e diz-se então que S é mensurável. 

Exemplos: Cálculo de áreas de casos concretos de superfícies que admitem uma parametrização a menos de conjunto de medida nula. (superfície de um cilindro, superfície esférica em ℝ³ )

Proposição: O volume-m do gráfico de função C¹ f:S→ℝ, com S⊂ℝⁿ, é V_m(S) = ∫_S (1+||∇f||²)^1/2.