29ª Aula - Revisão de condições suficientes de integrabilidade à Riemann em termos de continuidade. Conjuntos compactos e Teorema de Heine-Borel. Sucessões de Cauchy e espaços completos. Motivação para principais propriedades de funções contínuas em conjuntos compactos

20 abril 2017, 13:00 • Luis Magalhães

Revisão: Se f:I→ℝ e I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado, são condições suficientes para f ser integrável à Riemann em I :
(1) f é uniformemente contínua em I .
(2) f é contínua em I e I é fechado.

Observação: O essencial da continuidade uniforme é poder passar de coberturas do domínio com um nº infinito de intervalos abertos para um nº finito, o que é uma ideia muito importante útil em diversas situações..

Definições: Cobertura aberta de conjunto, subcobertura, e conjunto compacto K (toda a cobertura aberta de K tem subcobertura finita de K).

Teorema de Heine-Borel:  Se K⊂ℝⁿ, então:  K é compacto ⇔ K é limitado e fechado.
(Dem.: (⇒) as bolas abertas centradas na origem de raios que são os nºs naturais cobrem K e como ∃ subcobertura finita a bola de tal subcobertura com o maior raio contém K , pelo que K é limitado; os complementares das bolas fechadas centradas num ponto a com raios recíprocos de nºs naturais cobrem ℝⁿ\{a} pelo que se a não pertence a K cobrem K e como ∃ subcobertura finita o conjunto de tal subcobertura que é o complementar da bola fechada com o menor raio contém K e, portanto pertence ao exterior de K, pelo que K é fechado. (⇒) supondo que ∃ cobertura aberta de K que não tem subcobertura finita, considerando um intervalo limitado e fechado que contém K e procedendo a subdivisões sucessivas de todas as arestas ao meio obtém-se sucessão de intervalos fechados que intersectados com K não são cobertos por um nº finito de elementos da cobertura considerada e que têm um único ponto em comum que pertence a K ; este ponto pertence a algum conjunto U da cobertura que, como é aberto, contém os subintervalos a partir de alguma ordem, o que é contraditório.

Observações:
(1) A noção de conjunto compacto só envolve conceitos de conjuntos e de conjunto aberto, pelo que pode ser considerada em espaços topológicos, mesmo que não sejam métricos. 
(2) A prova de (⇒) no Teorema de Heine-Borel não usou propriedades específicas de ℝⁿ, pelo que todo conjunto compacto (mesmo que seja subconjunto de um espaço métrico que não é ℝⁿ) é limitado e fechado. A prova de (⇐) usou duas propriedades específicas de ℝⁿ: produto cartesiano finito de ℝ e axioma do supremo em ℝ para provar que as extremidades das arestas dos subintervalos considerados convergem. Esta última propriedade pode ser substituída pela propriedade do espaço ser completo como ℝ é obtido completando ℚ e a 1ª propriedade pode ser substituída por K ser totalmente limitado, ou seja ∀_ε>0∃ conjunto finito F_ε tal que todos os pontos de K estão a distância <ε de um ponto de F_ε.

Definições: Um espaço linear normado (ou um espaço métrico) é completo se toda sucessão de Cauchy é convergente para um ponto do espaço. {u_k} é uma sucessão de Cauchy se ∀_ε>0∃_N∈ℕ k≥N⇒d(u_k,u_m)<ε.

Observações: 
(1) A condição de definição de sucessão de Cauchy difere da de sucessão convergente por comparar distâncias de termos da sucessão e não destes com o limite.
(2) ℚ não é completo, ℝ é completo. ℝ pode ser definido como o espaço que completa ℚ. 
(3) Todo espaço linear normado (ou espaço métrico) que não seja completo pode ser completado acrescentando-lhe elementos, como na extensão de ℚ para ℝ .

Proposição: Uma sucessão em ℝⁿ converge se e só se é uma sucessão de Cauchy. 
(Dem.: (⇒) é imediata das definições com a desigualdade triangular. (⇐) pode ser provada sem perda de generalidade para sucessões em ℝ ; uma sucessão de Cauchy {u_k} é limitada pelo que as sucessões monótonas v_m=inf{u_m,u_m+1,...} e w_m=sup{u_m,u_m+1,...} são limitadas e, portanto convergem para limites, resp., L₁, L₂; como a sucessão é de Cauchy, passando ao limite na condição de definição de sucessão de Cauchy ∀_ε>0 |L₁-L₂|<ε , pelo que L₁=L₂ e u_k→L₁=L₂ .

Observação: (⇒) é válida em geral em espaços métricos. (⇐) não é válida em geral; como se viu os espaços para que é válida chamam-se completos.

Motivação para propriedades principais de funções contínuas em conjuntos compactos:
Se f:K→ℝ^m é contínua num conjunto compacto K⊂ℝⁿ, então:
(1) Teorema de Heine-Cantor: f é uniformemente contínua.
(2) f(K) é compacto.
(3) f é injectiva ⇒ f é aplicação aberta (transforma abertos relativamente a K em abertos relativamente a f(K)).
(4) f é injectiva ⇒ f^-1 é contínua.

Exercícios da 7ª Ficha (6) de CDI-2

19 abril 2017, 11:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios 1 (b), 2 (b), 3 (b), 4, 5 (c), 6 (a)

28ª Aula - Revisão: critério de integrabilidade à Riemann de função limitada num  intervalo limitado em termos da oscilação da função em subintervalos de partições finitas do domínio, caracterização de continuidade de função num ponto pela oscilação no ponto, definições de continuidade e continuidade uniforme num conjunto. Continuidade uniforme e caracterização de continuidade uniforme num intervalo limitado I pela oscilação nos fechos dos subintervalos intersectados com o intervalo I. Integrabilidade à Riemann de funções uniformemente contínuas em intervalos limitados, e de funções contínuas em intervalos limitados e fechados. Revisão: exemplo de cálculo de volume de sólido por integrais iterados simples da função 1 no sólido.

18 abril 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão:
(1) f:I→ℝ limitada em intervalo limitado I⊂ℝⁿ é integrável à Riemannn ⇔ ∀_ε,δ>0 ∃ partição finita P de I e conjunto C de subintervalos de P tais que o(f,R)<ε para R∈C e ∑_R∉Cv(R)<δ . 
(2) f:D→ℝ com D⊂ℝⁿ é contínua em a∈D ⇔ o(f,a)=0 .
(3) Se f:D→ℝ^m, com D⊂ℝⁿ, por definição :
      f é contínua em D : ∀_x∈D∀_ε>0∃_δ>0∀_y∈D ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<ε ;
      f é uniformente contínua em D : ∀_ε>0∃_δ>0∀_x,y∈D ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<ε .
      (formalmente a diferença é só na troca do quantificador de x com os outros quantificadores).

Proposição: Se f:I→ℝ e I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado, então f é uniformemente contínua em I ⇔ ∀_ε>0 ∃ partição finita P de I tal que para todo subintervalo R da partição o(f,R∩I)<ε . 
(Dem.: (⇒) Escolhe-se partição finita P tal que pontos do fecho de um mesmo subintervalo não distam >δ . (⇐) ||f(y)-f(x)||<ε para x,y∈I no fecho de cada subintervalo e ||f(y)-f(x)||<2ε para x,y∈I no fecho de subintervalos adjacentes (a última da desigualdade triangular com um ponto intermédio na fronteira comum dos subintervalos); escolhe-se δ>0 menor do que os comprimentos das arestas de todos subintervalos de P ; se x,y∈I, ||y-x||<δ , então, ||y-x||_∞≤||y-x||<δ e, portanto, x,y pertencem ao fecho do mesmo subintervalo de P ou de subintervalos adjacentes, pelo que ||f(y)-f(x)||<2ε ; logo, ∀_ε>0∃_δ>0∀_x,y∈I ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<2ε e, portanto, f é uniformemente contínua em I.)

Proposição: f:I→ℝ é uniformemente contínua em intervalo limitado I⊂ℝⁿ ⇒ f é integrável à Riemann em I .
(Dem.: O critério de integrabilidade revisto acima em (1) é satisfeito com todos subintervalos em C ).

Proposição: f:I→ℝ contínua num intervalo limitado e fechado I⊂ℝⁿ ⇒ f é uniformemente contínua em I (logo, integrável à Riemann em I ). 
(Dem. Se f não fosse uniformemente contínua, para algum ε>0 falha a condição da definição de continuidade uniforme. Por subdivisão ao meio de cada aresta de intervalos sucessivos poder-se-ia obter sucessão de intervalos fechados {I_j} em que em pelo menos um subintervalo a condição falha. Como ∩_jI_j={a}∈I (porque I é fechado) e f é contínua em a , ∃_R>0 o(f,B_R(a))<ε , e a partir de alguma ordem os intervalos estão incluídos em B_R(a) , pelo que nesses intervalos a condição é satisfeita, o que é contraditório.)

Em resumo, se f:I→ℝ , I⊂ℝⁿ é intervalo limitado, são condições suficientes para f ser integrável à Riemann em I :
(1) f é uniformemente contínua em I .
(2) f é contínua em I e I é fechado.

Observação: Obteve-se um condição suficiente de integrabilidade à Riemann análoga à obtida para integrais simples no semestre passado. Neste ponto sabemos sobre integrabilidade à Riemann em intervalos limitados de ℝⁿ mais do que se sabia no semestre passado para integrabilidade à Riemann em intervalos limitados de ℝ , mas as condições em termos de continuidade obtidas são suficientes. Interessa obter uma condição necessária e suficiente, sendo de esperar do que se viu até agora que seja a função limitada ter descontinuidades num conjunto de volume negligível, por poder ser incluído numa união de intervalos com soma de volumes arbitrariamente pequena.

Revisão: Exemplo de cálculo de volume de sólido S⊂ℝ³ limitado por superfícies dadas por equações cartesianas concretas pelo integral de 1 em S , supondo que existe, por integrais iterados simples em aplicação do Teorema de Fubini, por duas ordens de integrais iterados.

8ª Aula Prática

17 abril 2017, 14:30 • Ricardo Coutinho

Discussão e resolução de exercícios; ficha "Teorema de Fubini".

27ª Aula - Revisão: condição de integrabilidade à Riemann por enquadramento de função entre funções em escada com integral da diferença arbitrariamente pequeno; o espaço R(I) das funções integráveis à Riemann num intervalo limitado é um espaço linear e o integral em I define uma transformação linear. Critério de integrabilidade à Riemann de função limitada num  intervalo limitado em termos da oscilação da função em subintervalos de partições finitas do domínio. Oscilação de função num ponto e caracterização de continuidade num ponto pela oscilação nesse ponto. Continuidade uniforme: motivação, definição exemplos de funções contínuas mas não uniformemente contínuas num conjunto (comparação de quantificadores ). Revisão: exemplo de cálculo de volume de sólido por integrais iterados simples da correspondente função característica

17 abril 2017, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão:
(1) Se f:I→ℝ é limitada e I⊂ℝⁿ é um intervalo limitado. então f é integrável à Riemann em I se e só se ∀_ε>0 existem funções em escada s,t em I tais que s≤f≤t e ∫_I(t-s)<ε .
(2) O conjunto R(I) das funções limitadas de um intervalo limitado I⊂ℝⁿ em ℝ que são integráveis à Riemann é um espaço linear e a função f↦∫_If é uma transformação linear de R(I) em ℝ .

Definição: Se f:S→ℝ é limitada em S⊂ℝⁿ limitado, diz-se que f é integrável em S se a extensão de f que é 0 fora de S é integrável num intervalo limitado I com int I⊃S; em caso afirmativo chama-se integral de Riemann de f em S ao integral dessa extensão em I .

Observação: Integrabilidade e integral de Riemann assim definidos são independentes do intervalo considerado.

Definições:
(1) volume (n-dimensional) e centróide de conjunto S é  ∫_S1 , quando este integral à Riemann existe.
(2) massa total, centro de massa e momento de inércia em relação a uma recta, de corpo que ocupa um conjunto S⊂ℝⁿ com densidade de massa por volume dada por uma função f integrável em S (análogo para qualquer outra grandeza escalar especificada por densidade por volume, e.g. densidade de carga eléctrica).

Definição: Oscilação em conjunto ∅≠A⊂D⊂ℝⁿ de função f:D→ℝ limitada em A , o(f,A) = sup_A∩Df - inf_A∩Df .

Proposição: f:I→ℝ limitada em intervalo limitado I⊂ℝⁿ é integrável à Riemann se e só se quaisquer que sejam ε,δ>0 existe uma partição finita P de I e um conjunto C de subintervalos de P tais que o(f,R)<ε para R∈C e ∑_R∉Cv(R)<δ , em que v(R) é o volume (n-dimensional) de um subintervalo R da partição. (Dem.: imediata da condição de integrabilidade à Riemann por enquadramento de f entre funções em escada, (2) na revisão acima).

Exemplo: Verificação da não integrabilidade à Riemann da função de Dirichlet em [0,1] observando que a oscilação em qualquer subintervalo de partição finita de  [0,1] é 1 e, portanto, a condição necessária e suficiente de integrabilidade à Riemann precedente falha.

Motivação: Critério de integrabilidade à Riemann em intervalo em termos de continuidade e relação com oscilação de funções.

Definição: Oscilação o(f,a) de função f:D→ℝ, com D⊂ℝⁿ num ponto a∈D , o(f,a)=lim_r→0o(f,B_r(0)∩D) .

Proposição: f:D→ℝ com D⊂ℝⁿ é contínua em a∈D se e só se o(f,a)=0. (Dem.: imediata das definições).

Motivação: Continuidade versus continuidade uniforme: exemplos de funções contínuas não uniformemente contínuas (em intervalos limitados não fechados ou em intervalos fechados não limitados.

Definição: Continuidade uniforme de função f:D→ℝ^m em ∅≠A⊂D⊂ℝⁿ ∀_ε>0∃_δ>0∀_x,y∈A ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<ε .

Observação: A definição de continuidade uniforme em A difere de continuidade (simples) em A de função f:D→ℝ^m , em que ∅≠A⊂D⊂ℝ ⁿ, apenas na ordem dos quantificadores, pois para a continuidade (simples) é ∀_x∈A∀_ε>0∃_δ>0∀_y∈A ||y-x||<δ ⇒ ||f(y)-f(x)||<ε .

Exemplo: Cálculo de volume de sólido em ℝ³ limitado por superfícies dadas por equações cartesianas, por integrais iterados (exercício: trocar a ordem de variáveis dos integrais iterados).