Sumários
8ª Aula Prática
17 abril 2017, 10:00 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios; ficha "Teorema de Fubini".
Exercícios da Ficha 6 (CCDI-2)
7 abril 2017, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou
Aula dada pelo Rodrigo Serrão.
7ª Aula Prática
7 abril 2017, 12:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios;ficha "Função inversa. Função Implícita".
26ª Aula - Revisão do enunciado do T. de Fubini para funções integráveis à Riemann, e do integral de Riemann de f≥0 num intervalo limitado I⊂ℝn em que f é integrável à Riemann ser o volume ((n+1)-dimensional) do conjunto de ordenadas de f . Exemplos de cálculo de integrais múltiplos de funções concretas por integrais simples iterados em várias ordens, supondo que os integrais múltiplos existem e a validade do T. de Fubini. Prova do T. de Fubini para integrais de Riemann de funções limitadas em intervalos limitados. Prova de que o conjunto R(I) das funções limitadas de um intervalo limitado I de ℝn em ℝ integráveis à Riemann em I é um espaço linear e a função que transforma cada função de R(I) no seu integral de Riemann em I é uma transformação linear.
7 abril 2017, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão: Enunciado do Teorema de Fubini para funções integráveis à Riemann. Integral de Riemann de f≥0 num intervalo limitado I⊂ℝn em que f é integrável à Riemann é o volume ((n+1)-dimensional) do conjunto de ordenadas de f .
Exemplos:
Cálculo de integrais múltiplos de funções integráveis à Riemann concretas por
integrais simples iterados supondo que os integrais múltiplos existem e a validade do Teorema de Fubini, troca de
ordem de integração em integrais múltiplos, escolha de ordenação de integrais
iterados para facilitar o cálculo, exemplo de função com integral duplo que se
pode calcular em termos de funções elementares do cálculo por integrais
iterados numa ordem e não na outra.
Prova do Teorema de Fubini para funções limitadas integráveis à Riemann em intervalos limitados.
Exemplo: Função integrável à Riemann num intervalo limitado de ℝ2 tal que os correspondentes integrais iterados, em ambas as ordens são tais que o 2º integral não existe, pelo que no T. de Fubini é preciso considerar integrais inferiores e superiores no 2º integral, embora o integral desse integral exista, em consequência da prova do T. de Fubini.
Observação: Sabe-se do 1º semestre que uma condição suficiente para integrabilidade à Riemann de uma função num intervalo de ℝ limitado e fechado é que seja contínua nesse intervalo. Interessa estender esta condição suficiente de integrabilidade à Riemann para funções de mais de uma variável e também obter uma condição necessária e suficiente em termos de continuidade da função (o que também caracterizará as funções com integrais simples em intervalos limitados e fechados em termos de continuidade das funções).
Proposição: Se f:I→ℝ é limitada e I⊂ℝn é um intervalo limitado. então f é integrável à Riemann em I se e só se ∀ε>0 existem funções em escada s,t em I tais que s≤f≤t e ∫I(t-s)<ε . (Dem.: Imediata da definição de função integrável à Riemann).
Proposição: O conjunto R(I) das funções limitadas de um intervalo limitado I⊂ℝn em ℝ que são integráveis à Riemann é um espaço linear e a função f ↦ ∫If é uma transformação linear de R(I) em ℝ. (Dem.: R(I) é um subconjunto não vazio do espaço linear ℝI das funções de I em ℝ com a adição e a multiplicação por números reais definidas ponto a ponto, e aplicação da proposição precedente para provar que satisfaz as propriedades de fecho em relação às duas operações e que para f,g∈R(I) e c∈ℝ é ∫I(f+g)=∫If+∫Ig e ∫Icf=c∫If ).
7ª Aula Prática
7 abril 2017, 08:30 • Ricardo Coutinho
Discussão e resolução de exercícios;ficha "Função inversa. Função Implícita".