Sumários
36ª Aula - T. da Convergência Monótona (TCM) de Levi. Exemplos concretos de aplicação para averiguar integrabilidade e calcular integrais de funções definidas em subconjuntos de ℝ e de ℝ2. T. de Convergência Dominada (TCD) de Lebesgue. Demonstração do TCM de Levi.
5 maio 2017, 09:00 • Luis Magalhães
(em substituição do feriado 25 de Abril)
Teorema de Convergência Monótona de Levi (TCM Levi): Se S⊂ℝn, {fk}⊂L(S) é uma sucessão monótona q.t.p. em S e {∫Sfk} é limitada, então ∃ f∈L(S) : fk→f q.t.p. em S e ∫Sf =limk→∞∫S fk .
Teorema de Convergência Dominada de Lebesgue (TCD Lebesgue): Se S⊂ℝn, {fk}⊂L(S) , |fk|≤h∈L(s) q.t.p. em S e fk→f q.t.p. em S , então f∈L(S) , { ∫Sfk } converge, e ∫Sf = limk→∞∫Sfk .
Exemplos de aplicação do TCM Levi:
(1) Se fa(x)=1/xa, com a>0 .
(a) fa∈L([0,1])
e ∫01fa=1/(1-a) se a<1 , e fa∉L([0,1]) se
a≥1 . Apesar de serem funções ilimitadas para 0<a<1 o integral
existe, logo a área do conjunto de ordenadas é finita apesar do conjunto ser
ilimitado. (para a<1, considerar fk=fa em [1/k,1] e 0 fora de [1/k,1] e aplicar TCM; para a≥1, se fa fosse integrável, como fk≤fa da monotonia {∫Sfk} sria limitada, mas não é).
(b) fa∈L([1,+∞[)
se a>1 e ∫1+∞fa=1/(a-1) se a>1 , e fa∉L([1,+∞[) se
a≤1 . Apesar do dimínio ser ilimitado para a>1 o integral existe, logo
a área do conjunto de ordenadas é finita apesar do conjunto ser ilimitado. (análogo a (a) com fk=fa em [1,k] e 0 fora de [1,k] ou argumentando com simetria em relação a y=x ).
(c) fa∉L([0,+∞[) para
a>0 . (se fa fosse integrável, da monotonia, ∫01fk≤ ∫0+∞fa e ∫1+∞fk≤ ∫0+∞fa mas de (a) e (b) pelo menos uma das duas não é majorada)
(2) Se f(x,y) = xy e-(x2+y2), f∈L([0,+∞[2) e ∫[0,+∞[2 f=1/4 . (considerar fk=f em [0,k]2 e fk=0 fora de [0,k]2 e aplicar TCM).
Observações:
(1) Os resultados análogos para integrais de Riemann são falsos e resultados nessas direcções exigiriam condições mais restritivas e bastante mais complicadas.
(2) Integrais múltiplos impróprios à Riemann exigem condições adicionais
complicadas associadas a séries de nºs reais simplesmente convergentes e não
absolutamente convergentes poderem convergir para um nº arbitrário por
reordenação de termos, porque se perde a ordenação que há em ℝ . Em integrais de Lebesgue de funções ilimitadas ou em domínios de
integração ilimitados é muito mais simples
Dem. do TCM de Levi: Sem perda de generalidade prova-se para intervalos I . Se {fk}⊂S(I) é crescente q.t.p. em I , como {∫Sfk} é majorada, {fk} converge q.t.p. em I , em cada ponto x em que converge {fk(x)} tem limite, designado f(x) e, definindo f arbitrariamente noutros pontos, f∈U(I) . Se {fk}⊂U(I) é crescente q.t.p. em I ,∃ {skj}⊂S(I) tal que skj↗fk quando j→∞ q.t.p. em I . tk=max{sij: i=1,...,k}∈S(I) , e crescente e ∫Stk≤∫Sfk que é majorado. ∃ f∈U(I) tal que tk↗f quando j→∞ q.t.p. em I e ∫Itk ≤ ∫If . Como skj≤ tk, é fk≤f q.t.p. em I . {fk(x)} é crescente e majorada por f(x)∈ℝ q.t.p para x∈I ; logo ∃ g≤f tal que fk↗g q.t.p. em I ; como tk≤fk é f≤g q.t.p. em I e ∫Itk≤∫Ifk que implica ∫If ≤limk→∞∫Ifk ; portanto g=f q.t.p. em I, pelo que g∈L(I) e limk→∞∫Ifk≤ ∫Ig = ∫If .
35ª Aula - Revisão: definição de integral de Lebesgue por extensão sucessiva (S(I), U(I), L(I)) . Consideração de L(I) como espaço linear normado e densidade de U(I) e S(I) (e R(I) se I é intervalo limitado) em L(I) . Propriedades básicas de integral (de Lebesgue) em ℝn. Exemplo concreto de função descontínua q.t.p. num intervalo de ℝ2 integrável (à Lebesgue) e cálculo do integral por integral de Riemann de função a que é igual q.t.p. Motivação e enunciado do T. de Convergência Monótona de Levi.
4 maio 2017, 13:00 • Luis Magalhães
Revisão:
(1) Definição de integral (de Lebesgue): extensão sucessiva em intervalos I⊂ℝn S(I) → U(I) → L(I) . é esta extensão sucessiva que se usa para estabelecer propriedades gerais básicas do integral. S(I)⊂U(I)⊂L(I) . Se I é limitado, R(I)⊂U(I) . Se S⊂ℝn não é um intervalo, L(S) é o conjunto das funções f:S→ℝ com extensão f* a ℝn que é 0 fora de S pertencente a L(ℝn) e ∫Sf=∫ℝn f* .
(2) Com ||f||1=∫|f| o conjunto das funções integráveis em I identificando funções =s q.t.p. em I é um espaço linear normado L1(I) .
Proposição: Se I⊂ℝn é um intervalo, U(I) é denso em L1(I) , S(I) é denso em L1(I) ; se I é limitado R(I) é denso em L1(I) .
(Dem: ∀ε>0∃u,v∈U(I): f=u-v, v≥0 q.t.p. em I e ∫I v < ε (∃ {tk}⊂S(I) tk↗v q.t.p. em I com {∫Stk} majorada; subtrai-se tN a u e v com N suficientemente grande). ∀ε>0∃s∈S(I), g∈L(I): f=s+g e ∫I|g| < ε ( f=u-v como antes, ∃ {sk}⊂S(I) sk↗u q.t.p. em I com {∫Ssk} majorada; g=(u-s)-v com s=sN com N suficientemente grande) ).
Proposição:
Propriedades básicas de L(S), S⊂ℝn:
(1) L(S) é um espaço linear, f↦∫Sf é uma transformação linear
de L(S) em ℝ .
(2) f,g∈L(S), f≤g q.t.p. em S ⇒ ∫Sf ≤ ∫Sg (monotonia do integral).
(3) f∈L(S), g=f q.t.p. em S ⇒ g∈L(S), ∫Sg = ∫Sf .
(4) f∈L(S), f+=max(f,0), f-=min(f,0) ⇒ f+,f-,|f|∈L(S) e |∫Sf| ≤ ∫S|f| , em que f+=max(f,0), f-=-min(f,0) .
(5) f,g∈L(S) ⇒ max(f,g), min(f,g)∈L(S) .
(6) Se S1,S2⊂ℝn, S=S1∪S2 , S1∩S2= ∅ ,
então: (a) f1∈L(S1) , f2∈L(S2) , f=f1 em S1 , f=f2 em S2 ⇒ f∈L(S) ,
(b) f∈L(S) , f1=f|S1∈L(S1) ⇒ f2=f|S2∈L(S2) , e em ambos os casos
∫Sf ≤ ∫S1f +∫S2f .
(Dem. Sem perda de generalidade prova-se para intervalos S=I. (1) provado antes. (2) para U(I) resulta da monotonia do limite, e para L(I) resulta de rearrumar diferenças e somas. (3) f-g=0 q.t.p., logo f-g∈L(I) e de (1) g∈L(I), ∫Ig = ∫If . (4) f=u-v com u,v∈U(I) , f+= u - min(u,v) ; ∃ {sk},{tk}⊂S(I) sk↗u, tk↗v q.t.p. em I com {∫Isk}, {∫Itk} majoradas; wk=min(sk,tk)∈S(I), wk↗min(u,v) q.t.p. em I, wk≤sk e {∫Iwk} é majorada; logo, min(u,v) ∈U(I) e f+∈L(I) . De (1) f-=(-f)+∈L(I), |f|=f++f-∈L(I) ; como -|f|≤f≤|f| , de (2) e (1) - ∫I|f|≤ ∫If ≤ ∫I|f| . (6) f1=f|S1 , f2=f|S2 , f1*, f2*, f* resp. extensões nulas fora de resp. S1,S2, S; f*=f1*+f2*, aplicar (1) ).
Observações:
(1) A definição de integral em S pode ser estendida a funções definidas q.t.p.
em S mas não em todo S.
(2) A priopriedade (6) de aditividade em relação à união de 2 domínios de
integração disjuntos pode ser estendida a aditividade em relação a uniões
finitas disjuntas de domínios de integração (na hipótese dos integrais
existirem sem ser necessário considerar um deles, pois necessariamente
existirá).
(3) Pode-se provar que L1(I) é um espaço completo. Se I é intervalo limitado, como R(I) é denso em L1(I) , este é o espaço que se obté completando R(I) com a norma considerada (como ℝ completa ℚ , de modo a sucessões de Cauchy serem convergentes).
Exemplo concreto de uma função descontínua q.t.p em [0,1]2 igual q.t.p. a uma função integrável à Riemann, que tem integral (de Lebesgue) igual ao integral de Riemann dessa função, caso em que se pode calcular o integral (de Lebesgue) desta forma.
Observação: Apesar de parte dos defeitos do integral à Riemann detectados estarem reparados com o integral (de Lebesgue), a grande superioridade do integral de Lebesgue em relação ao de Riemann tem, naturalmente, a ver com convergência de limites. Consideram-se 2 teoremas de convergência (troca de limite com o integral): Teorema da Convergência Monótona de Levi e Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. O 1º é simplesmente que o processo usado para estender S(I) para U(I) aplicado a L(I) não dá funções adicionais:
Teorema de Convergência Monótona de Levi (TCM Levi): Se S⊂ℝn, {fk}⊂L(S) é uma sucessão monótona q.t.p. em S e {∫Sfk} é limitada, então ∃ f∈L(S) : fk→f q.t.p. em S e ∫Sf = limk→∞∫S fk .
Integrabilidade, 2º miniteste
3 maio 2017, 11:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou
Exercícios sobre integrabilidade: 4.1, 4.3
34ª Aula - Revisão: Definições de função limite superior e função integrável (à Lebesgue) e dos respectivos integrais, aditividade e homogeneidade positiva do integral de funções limite superior. Verificação de que a função de Dirichlet em [0,1] é limite superior e tem integral 0 apesar de não ser integrável à Riemann, e exemplo de função limite superior com simétrica que não é limite superior. Linearidade do integral. Definição de integral num subconjunto arbitrário de ℝn. As funções integráveis (à Lebesgue) num conjunto mensurável à Jordan incluem as funções integráveis à Riemann no conjunto.
2 maio 2017, 11:30 • Luis Magalhães
Revisão: Definições: Se I⊂ℝn é um intervalo e S(I) o conjunto das funções em escada em I:
(1) f∈U(I) se ∃ {sk}⊂S(I) : sk↗f q.t.p. em I com {∫I sk} majorada e define-se ∫I f = limk→∞ ∫I sk .
(2) ∫I(u+v) = ∫Iu + ∫Iv para u,v∈U(I) e ∫Icu = c∫Iu para u∈U(I) c≥0 .
(3) f∈L(I) se ∃ u,v∈U(I) : f=u-v e define-se ∫I f = ∫Iu - ∫Iv .
(4) U(I) não é espaço linear. L(I) é o espaço linear que U(I) gera.
Observações:
(1) exige verificar que é independente da sucessão {sk} com as propriedades indicadas, o que resulta da monotonia do limite.
(2) é consequência da linearidade do limite.
(3) exige verificar que é independente da decomposição f=u-v com u,v∈U(I) : se f=u1-v1=u2-v2 , u1+v2=u2+v1 , então ∫Iu1+ ∫Iv2 = ∫I(u1+v2) = ∫I(u2+v1) = ∫Iu2+ ∫Iv1, e ∫Iu1- ∫Iv1 = ∫Iu2 - ∫Iv2 .
Exemplos:
(1) A função de Dirichlet d:[0,1]→ℝ satisfaz sk↗d com sk zero excepto nos 1ºs k racionais de uma enumeração de ℚ∩[0,1]={qj} que é 1, pelo que d∈U([0,1]) e ∫I d = limk→∞ ∫Isk= 0 .
(2) Com tk=0 em todo [0,1] , tk↗-d q.t.p. em [0,1] , pelo que -d∈U([0,1]) e ∫I-d = limk→∞ ∫Itk= 0 .
(3) A função D:[0,1]→ℝ que é 1 em ∪j∈ ℕIj com Ij=[qj-1/4j, qj+1/4j] e 0 nos outros pontos satisfaz sk↗D em [0,1] com sk 1 em ∪kj=1Ij e 0 nos outros pontos, pelo que D∈U([0,1]) e ∫ID = limk→∞∫Isk ≤ ∑j∈ ℕv(Ij) = ∑j∈ ℕ2/4j = 2/3 .
(4) Se {sk}⊂S([0,1]) e sk≤-D q.t.p. em [0,1] , é sk≤-1 q.t.p. em [0,1] ; como -D=0 num conjunto que não tem medida nula, não existe {sk}⊂S(I) : sk↗-D q.t.p. em [0,1] ; logo, -D∉U([0,1]) . Portanto, U([0,1]) não é espaço linear.
Proposição: Se I⊂ℝn é um intervalo, então f↦∫If é uma transformação linear de L(I) em ℝ (Dem.: aplicar aditividade e homogeneidade positiva do integral de funções em U(I) passando somas de diferenças a diferenças de somas e trocando diferenças por diferenças dos simétricos).
Proposição: Se I⊂ℝn é um intervalo limitado, f∈R(I) ⇒ f∈U(I) e ∫If (à Riemann) = ∫If (como função de U(I) ). (Dem.: As funções integráveis à Riemann são arbitrariamente aproximadas por funções em escada por baixo e por cima e o integral à Riemann coincide com o limite dos integrais dessas funções).
Definição: Se S⊂ℝn diz-se que f:S→ℝ é integrável (à Lebesgue) se a extensão f* de f a ℝn que é 0 fora de S é integrável em ℝn. Define-se ∫Sf = ∫ℝn f*. Designa-se o conjunto das funções integráveis em S por L(S) .
Proposição: Se f:S→ℝ é limitada, S⊂ℝn é mensurável à Jordan e f é integrável à Riemann em S , então f∈L(S) e o integral (de Lebesgue) de f é igual ao de Riemann.
Observação: Para provar propriedades de integrais de Lebesgue pode-se seguir o processo de extensão S(I) → U(I) → L(I) → L(S) .
Exercícios das fichas 7 (CDI-2) e 8 (CCDI-2)
28 abril 2017, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou
da ficha 7: