2 junho 2017, 11:30 • Luis Magalhães

 Prova de equivalência das 3 descrições locais de variedades-m em ℝⁿ, por (1) parametrizações (ou sistemas de coordenadas), (2) gráficos e (3) equações cartesianas.  

(1)⇐(2)⇒(3) já feito. 
(1)⇒(2) Se g é parametrização C^k de vizinhança de coordenadas M∩U de um ponto a∈M, a menos de permutação de coordenadas g=(g₁,g₂) com Dg₁ mxm não singular para t numa vizinhança de t₀=g^-1(a) e aplicando o TFInversa localmente g₁ tem inversa (g₁)^-1de conjunto aberto W₁ que contém t₀ sobre conjunto aberto, e como se pretende (g₁(t),g₂(t))=(x,f(x)) define-se f=g₂∘(g₁)^-1 em W₁; G(f)=g(W₁)=(g^-1)^-1(W₁) , pelo que é a imagem inversa de um aberto por uma função contínua e, portanto é um aberto relativamente a M∩U, ou seja G(f)=M∩U' para algum aberto U'⊂ℝⁿ que contém a . 
(3)⇒(2) é caso particular do resultado seguinte, pois localmente uma equação cartesiana de uma de um conjunto M∩U com U'⊂ℝⁿ aberto define um conjunto de nível de uma função C^k sem pontos críticos.

Proposição: Se F:S→ℝ^p é C^k (k∈ℕ) em S⊂ℝⁿ aberto e p<n, então: (conjunto de nível de F) \ (conjunto de pontos críticos de F (i.e. rank DF<p) ) quando não vazio é localmente gráfico de uma função C^k de um subconjunto aberto de ℝ^m para ℝ^n-m (logo uma variedade-(n-p) C^k em ℝⁿ). 
(Dem.: Se a∈F^-1({c}) não é ponto crítico, a menos de permutação de coordenadas DF(a)=[∂F/∂x ∂F/∂y] com ∂F/∂y pxp não singular aplicando o TFImplícita numa vizinhança de a à equação F(x,y)=c obtém-se que ∃ função h C^k tal que a equação equivale a y=h(x)).

Prova de existência de partição de unidade em qualquer S⊂ℝⁿ subordinada a qualquer cobertura aberta ℱ de S . 

Proposição: Se F⊂ℝⁿ é fechado e K⊂int F é compacto, ∃ φ:ℝⁿ→[0,1] C^∞, supp φ⊂F, φ=1 em K.
(Dem.: Prova-se em passos sucessivos:
(1) ∃ f:ℝ→[0,1] C^∞, f^(k)(0)=0 para k∈ℕ∪{0}, f(x)>0 para x≠0 (e.g. f(x)=e^1/x2, x≠0 ). 
(2) ∃ g:ℝ→[0,1] C^∞, supp g=[-1,1] (e.g. g(x)=f(x-1)f(x+1) para |x|<1 e nula caso contrário).
(3) ∃ h:ℝⁿ→[0,1] C^∞, supp h é bola fechada B_r de raio r>0 centrada em a∈ℝⁿ na norma || ||_∞ (e.g. h(x₁,...,x_n)=g((x₁-a₁)/r) ··· g((x_n-a_n)/r)).
(4) Cobre-se K por intervalos abertos do tipo int B_r de (3) com B_r⊂F. ∃ subcobertura finita de K. Somam-se as correspondentes funções h de (3) para definir k com supp k⊂F e k>o em K. Do T. Weierstrass k tem mínimo m>0 em K. φ=s∘k com :ℝ→[0,1] C^∞, s(t)=0 para t<0, s(t)=1 para t>m e 0<s(t)<1 para 0<t<m (e.g. s(t)=∫_[0,x]p_m/∫_[0,m]p_m, em que p_m(t)=g(2t/m-1) ).

Proposição: Existe de partição de unidade em qualquer S⊂ℝⁿ subordinada a qualquer cobertura aberta ℱ de S . 
(Dem.: Prova-se em passos sucessivos para: (1) S compacto (ver livro); (2) S=U_j∈ℕK_j com K_j compactos e K_j⊂int K_j+1 (ver livro); (3) S aberto (é do tipo de S em (2)): (4) S qualquer (S⊂T=U_U∈ℱU e T é aberto, aplica-se (3)).

Observação: Tal como um campo irrotacional pode não ser gradiante, um campo solenoidal pode não ser um rotacional.

Exemplo: Análogo de campo gravítico (ou eléctrico) devido a massa ou carga na origem f(x)=||x||^-3x em ℝ³. É div f=0 . Como f·n=||x||^-2, em que n=x/||x|| é a normal exterior unitária a uma superfície esférica S centrada na origem, o  fluxo de f em S  é 4π . O fluxo no complementar em S de uma pequena calote centrada no polo Norte tende para 4π quando a calote tende para o polo e o trabalho de f  no bordo da calote tende para 0 porque do T. de Weierstrass ||f|| é majorada em S e o comprimento do bordo da calote tende para 0 . Se fosse f=rot A , do T. de Stokes, o valor absoluto do fluxo no complementar da calote seria igual ao valor absoluto do trabalho no bordo, o que é impossível. Logo não pode ser f=rot A .

Observações: 
(1) Obtiveram-se TFC para variedades-m em ℝⁿ nos casos m=1 e n∈ℕ (p/ integrais de linha), m=n (p/ integrais múltiplos ou T. da Divergência), m=2 e n=3 (T. de Stokes em variedades-2 em ℝ³). Em geral, para 1≤m≤n , n∈ℕ , também há um TFC, mas tem de se considerar funções que não são campos vectoriais em ℝⁿ. Como as relações de expansão/contracção de volume-m por parametrizações g de variedades-m em ℝⁿ correspondem às várias formas de seleccionar m linhas da matriz jacobiana Dg , que é nxm , sem repetições e independentemente da ordenação é combinações de n , m a m , ou seja k=n!/(m!(n-m)!) , as funções a considerar para integração em variedades-m em ℝⁿ devem ter k componentes escalares. 
Para m=1 é k=n e, portanto são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de integrais de linha; para m=n é k=1 e, portanto, são campos escalares que é o caso de integrais múltiplos; para m=2 e n=3 é k=3 e, portanto, são campos vectoriais em ℝ³ que é o caso de integrais em variedades-2 em ℝ³; para m=n-1 e n∈ℕ é k=n e, portanto, são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de fluxos de campos vectoriais em fronteiras de domínios regulares em ℝⁿ. Contudo, por exemplo, para m=2 e n=4 é k=6 , e para m=2 e n=5 ou m=3 e n=5 é k=10 , e, portanto, integrais em variedades-2 em ℝ⁴ devem ser de funções com 6 componentes escalares, integrais em variedades-2 em ℝ⁵ ou em variedades-3 em ℝ⁵ devem ser de funções com 10 componentes escalares, e assim sucessivamente. Estas funções a integrar em variedades-m em ℝⁿ, para 1≤m≤n , n∈ℕ , com n!/(m!(n-m)!) componentes chamam-se formas diferenciais de ordem m ou formas-m .
A fórmula do TFC ou T de Stokes em variedades-m  em ℝⁿ é simplesmente  ∫_Aodω = ∫_∂Aoω , válida se A é um domínio regular numa variedade-m em ℝⁿ orientável, o em A_o é uma orientação desta variedade e em ∂A_o é uma orientação da variedade-(m-1) ∂A consistente com a anterior, ω é uma forma-(m-1) C¹ no fecho de A e dω  é uma forma-m a que se chama derivada exterior de ω , cuja fórmula se pode obter analogamente a como se obtiveram a divergência e o rotacional por aplicação do T da Divergência no domínio de uma parametrização da variedade-m e considerando o operador diferencial que resulta após aplicação da parametrização no integral na variedade-m .
(2) O T de Stokes com formas diferenciais unifica os TFC considerados anteriormente. Em particular, no caso de formas-(n-1) em ℝⁿ a derivada exterior corresponde à divergência do campo vectorial associado, no caso de formas-0 em ℝⁿ corresponde ao gradiante  e no caso de formas-1 em ℝ³ corresponde ao rotacional.
(3) Analogamente ao referido para os casos tratados, por aproximações de funções contínuas por funções C¹ ou C² obtém-se a versão geral do T. de Stokes para as correspondentes  variedades com cantos.
(4) A derivada exterior de uma forma-m é um operador diferencial intrínseco, por razão análoga da divergência e do rotacional.
(5) Define-se forma ω fechada se dω=0 , que para formas-(n-1) corresponde a campos vectoriais solenoidais e para formas-1 em ℝ³ corresponde a campos vectoriais irrotacionais. Define-se forma ω exacta se ω=dγ , generalizando tanto campos que são um gradiante como campos que são um rotacional. Pode-se provar de modo análogo a como se fez para campos irrotacionais ou solenoidais num conjunto em estrela que num conjunto em estrela uma forma fechada é exacta